Сегодня рассмотрим самый простой и самый древний способ домашней заготовки...
Изгибом называется деформация , связанная с искривлением оси бруса (или изменением его кривизны). Прямой брус, воспринимающий в основном изгибающую нагрузку, называется балкой. В общем случае при изгибе в поперечных сечениях балки имеют место два внутренних силовых фактора: перерезывающая сила Q и изгибающий момент. Если в поперечных сечениях балки действует только один силовой фактор, а , то изгиб называется чистым. Если в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, то изгиб называется поперечным.
Изгибающий моменти поперечная сила Q определяются методом сечений. В произвольном поперечном сечении бруса величина Q численно равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось всех внешних (активных и реактивных) сил приложенных к отсеченной части; изгибающий моментв произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментоЕ всех внешних сил и пар сил, расположенных по одну сторону от сечения.
Для системы координат, ноказанно) на рис. 2.25, изгибающий момент от нагрузок, расположенных в плоскости хОу, действует относительно оси г, а перерезывающая сила – по направлению оси у. Поэтому обозначим перерезывающую силу , изгибающий момент
Если поперечная нагрузка действует так, что ее плоскость совпадает с плоскостью, содержащей одну из главных центральных осей инерции сечений, то изгиб называетсяпрямым.
Для изгиба характерны два вида перемещений:
- искривление продольной оси бруса Ох, соответствующее перемещениям точек оси бруса в направлении Оу,
- поворот в пространстве одного поперечного сечения относительно другого, т.е. поворот сечения относительно оси г в плоскости XОу.
Рис. 2.25
Дифференциальные и интегральные зависимости при изгибе
Пусть на балку действует непрерывная распределенная нагрузка q(x) (рис. 2.26, а). Двумя поперечными сечениями т–т и п–п выделим участок балки длиной dx. Полагаем, что на этом участке д(х) = const ввиду малости длины участка.
Внутренние силовые факторыи, действующие в сечении п–п, получают некоторое приращение и будут равны. Рассмотрим равновесие элемента (рис. 2.26, б):
а) , отсюда
Рис. 2.26
Членможно опустить, так как он имеет второй порядок малости по сравнению с остальными. Тогда
Подставляя равенство (2.69) в выражение (2.68), получаем
Выражения (2.68)-(2.70) называются дифференциальными зависимостями при изгибе балки. Они справедливы только для балок с первоначально прямолинейной продольной осью.
Правило знаков для и носит условный характер:
Графическииизображаются в виде эпюр. Положительные значения откладываются вверх от оси бруса, отрицательные – вниз.
Рис. 2.27
Нормальные напряжения при чистом изгибе балки
Рассмотрим модель чистого изгиба (рис. 2.28, а, б). После окончания процесса нагружения продольная ось балки X искривится, а ее поперечные сечения повернутся относительно своего первоначального положения на уголг/О. Для выяснения закона распределения нормальных напряжений по поперечному сечению балки примем следующие допущения:
- при чистом прямом изгибе сира ведлива гипотеза плоских сечений: поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси во время и после деформации;
- волокна бруса при его деформации не надавливают друг на друга;
- материал работает в пределах упругости.
В результате деформации изгиба ось х искривится и сечениеповернется относительно условно защемленного сеченияна угол. Определим продольную деформацию произвольного волокна АВ, расположенного на расстоянии у от продольной оси (см. рис. 2.28, а).
Пусть – радиус кривизны оси бруса (см.рис. 2.28, б). Абсолютное удлинение волокна АВ равно. Относительное удлинение этого волокна
Так как согласно допущению волокна друг на друга не надавливают, то они находятся в состоянии одноосного растяжения или сжатия. Используя закон Гука, получим зависимость изменения напряжений по поперечному сечению батки:
Величинапостоянна для данного сечения, поэтому изменяется по высоте сечения в зависимости от координа-
Рис. 2.28
Рис. 2.29
ты у. При изгибе часть волокон бруса растягивается, часть – сжимается. Границей между областями растяжения и сжатия является слой волокон, который лишь искривляется, не изменяя своей длины. Этот слой называется нейтральным.
Напряжения σ* в нейтральном слое должны равняться нулю, соответственно Этот результат следует из выражения (2.71) при. Рассмотрим выражения дляПоскольку при чистом изгибе продольная сила равна нулю, то запишем:
(рис. 2.29), а так как", то , т.е.. Отсюда следует, что ось Οζ
является центральной. Эта ось в поперечном сечении называется нейтральной линией. Для чистого прямого изгиба Тогда
Поскольку , то
Отсюда следует, что оси Οζ и Оу сечения являются не только центральными, но и главными осями инерции. Это предположение делалось выше при определении понятия "прямой изгиб". Подставив в выражение для изгибающего моментазначениеиз выражения (2.71), получим
Или , (2.72)
где– момент инерции относительно главной центральной оси сечения Οζ.
Подставляя равенство (2.72) в выражение (2.71), получаем
Выражение (2.73) определяет закон изменения напряженияпо сечению. Видно, чтоизменяется не по координате 2 (т.е. по ширине сечения нормальные напряжения постоянны), а по высоте сечения в зависимости от координаты у
Рис. 2. 30
(рис. 2.30). Значения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. при . Тогда . Обозначив , получим
где – момент сопротивления сечения изгибу.
Воспользовавшись формулами для главных центральных моментов инерции основных геометрических форм сечений, получим следующие выражения для:
Прямоугольное сечение: , где – сторона, параллельная оси г; h – высота прямоугольника. Так как ось г проходит по середине высоты прямоугольника, то
Тогда момент сопротивления прямоугольника
29-10-2012: Андрей
Допущена опечатка в формуле изгибающего момента для балки с жестким защемлением на опорах(3-я снизу): длина должна быть в квадрате. Допущена опечатка в формуле максимального прогиба для балки с жестким защемлением на опорах (3-я снизу): должно быть без "5".
29-10-2012: Доктор Лом
Да, действительно, были допущены ошибки при редактировании после копирования. На данный момент ошибки исправлены, спасибо за внимательность.
01-11-2012: Вик
опечатка в формуле в пятом сверху примере (перепутаны степени рядом с иксом и эль)
01-11-2012: Доктор Лом
И это правда. Исправил. Спасибо за внимательность.
10-04-2013: flicker
В формуле Т.1 2.2 Mmax, похоже, не хватает квадрата после a.
11-04-2013: Доктор Лом
Верно. Эту формулу я скопировал из "Справочника по сопротивлению материалов" (под ред. С.П. Фесика, 1982г, стр. 80) и даже не обратил внимания, что при такой записи даже размерность не соблюдается. Сейчас пересчитал все лично, действительно расстояние "а" будет в квадрате. Таким образом получается, что наборщик пропустил маленькую двоечку, а я повелся на эту пшенку. Исправил. Спасибо за внимательность.
02-05-2013: Timko
Добрый день хотел бы спросить у вас в таблице 2, схема 2.4, интересует формула "момент в пролете" где не ясен индекс Х -? не могли бы вы ответить)
02-05-2013: Доктор Лом
Для консольных балок таблицы 2 уравнение статического равновесия составлялось слева направо, т.е. началом координат считалась точка на жесткой опоре. Однако если рассматривать зеркальную консольную балку, у которой жесткая опора будет справа, то для такой балки уравнение момента в пролете будет намного проще, например, для 2.4 Мх = qx2/6, точнее -qx2/6, так как сейчас считается, что если эпюра моментов расположена сверху, то момент при этом отрицательный.
С точки зрения сопромата знак момента - достаточно условное понятие, так как в поперечном сечении, для которого определяется изгибающий момент все равно действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Главное понимать, что если эпюра расположена сверху, то и растягивающие напряжения будут действовать в верхней части сечения и наоборот.
В таблице минус для моментов на жесткой опоре не проставлен, однако направление действия момента учитывалось при составлении формул.
25-05-2013: Дмитрий
Скажите пожалуйста, при каком соотношении длины балки к ее диаметру справедливы сии формулы?
Я хочу узнать или это подкодит только для длинных балок, которые в строительстве зданий, или можна применять также для расчета прогибов валов, длиной до 2 м. Пожалуйста ответте так l/D>...
25-05-2013: Доктор Лом
Дмитрий, я вам уже говорил, для вращающихся валов расчетные схемы будут другие. Тем не менее, если вал в неподвижном состоянии, то его можно рассматривать как балку, причем не важно, какое у нее сечение: круглое, квадратное, прямоугольное или какое-то еще. Данные расчетные схемы наиболее точно отражают состояние балки при l/D>10, при соотношении 5 25-05-2013: Дмитрий
Спасибо за ответ. Можете еще назвать литературу, на которую я могу сослаться, в своей работе? 25-05-2013: Доктор Лом
Не знаю, какую именно задачу вы решаете, и потому вести предметный разговор трудно. Попробую объяснить свою мысль по другому. 25-05-2013: Дмитрий
Можно тогда с вами пообщаться через mail или Skype? Я вам расскажу что за работу я делаю и для чего были предыдущие вопросы. 25-05-2013: Доктор Лом
Можете написать мне, адреса электронной почты на сайте найти не трудно. Но сразу предупрежу, никакими расчетами я не занимаюсь и партнерские контракты не подписываю. 08-06-2013: Виталий
Вопрос по таблице 2, вариант 1.1, формула прогиба. Просьба уточнить размерность. 09-06-2013: Доктор Лом
Все верно, на выходе получаются сантиметры. 20-06-2013: Евгений Борисович
Здравствуйте. Помогите прикинуть. У нас возле ДК стоит сцена летняя деревянная, размер 12,5 х 5.5 метров, по углам стойки - металлические трубы диаметром 100 мм. Заставляют делать крышу типа фермы (жаль что нельзя рисунок прикрепить) покрытие поликарбонад, фермы изготавливать из профильной трубы (квадрат или прямоугольник) стоит вопрос о моей работе. Не будешь делать уволим. Я говорю что не пойдет, а администрация вместе с моим начальником говорят все пойдет. Как быть? 20-06-2013: Доктор Лом
22-08-2013: Дмитрий
Если балка (подушка под колонной) лежит на плотном грунте (точнее закопана ниже глубины промерзания), то какой схемой следует воспользоваться для расчета такой балки? Интуиция подсказывает, что вариант "на двух опорах" не подходит и что изгибающий момент должен быть существенно меньше. 22-08-2013: Доктор Лом
Расчет фундаментов - отдельная большая тема. К тому же не совсем понятно о какой балке идет речь. Если имеется в виду подушка под колонну столбчатого фундамента, то основой расчета такой подушки является прочность грунта. Задача подушки - перераспределить нагрузку от колонны на основание. Чем меньше прочность, тем больше площадь подушки. Или чем больше нагрузка, тем больше площадь подушки при той же прочности грунта. 23-08-2013: Дмитрий
Имеется в виду подушка под колонну столбчатого фундамента. Длина и ширина подушки уже определены исходя из нагрузки и прочности грунта. Но вот высота подушки и количество арматуры в ней под вопросом. Хотел посчитать по аналогии со статьей "Расчет железобетонной балки", но полагаю, что считать изгибающий момент в подушке, лежащей на грунте, как в балке на двух шарнирных опорах будет не совсем верно. Вопрос - по какой расчетной схеме считать изгибающий момент в подушке. 24-08-2013: Доктор Лом
Высота и сечение арматуры в вашем случае определяются как для консольных балок (по ширине и по длине подушки). Схема 2.1. Только в вашем случае опорная реакция - это нагрузка на колонну, точнее часть нагрузки на колонну, а равномерно распределенная нагрузка - это отпор грунта. Другими словами, указанную расчетную схему нужно перевернуть. 10-10-2013: Ярослав
Добрый вечер.Помогите пожалуста,подобрать метал. балку для прольота 4.2 метра.Жилой дом в два етажа,цоколь перекрыт пустотелыми плитами длиной 4.8 метра,сверху несущая стена в 1.5 кирпича длиной в 3.35 м высотой 2.8м.дальше дверной пройом.Сверху на етой стене плиты перекрытия с одной стороны длиной 4.8м. с другой 2.8 метра на плитах опять несущая стена как етажом ниже и сверху деревяные балки 20 на 20см длиной 5м.6 штук и длиной 3 метра 6 штук пол из досок 40мм.25м2. Других нагрузок нету.Прозьба подскозать какую двутавру брать чтобы спать спокойно. Пока всьо ето стоит уже 5 лет. 10-10-2013: Доктор Лом
Посмотрите в разделе: "Расчет металлических конструкций" статью "Расчет металлической перемычки для несущих стен" в ней достаточно подробно описан процесс подбора сечения балки в зависимости от действующей нагрузки. 04-12-2013: Кирилл
Подскажите, пожалуйста, где можно ознакомиться с выводом формул максимального прогиба балки для п.п. 1.2-1.4 в Табл.1 04-12-2013: Доктор Лом
Вывод формул для различных вариантов приложения нагрузок на моем сайте не приводится. Общие принципы, на которых основан вывод подобных уравнений, вы можете посмотреть в статьях "Основы сопромата, расчетные формулы" и "Основы сопромата, определение прогиба балки". 24-03-2014: Сергей
допущена ошибка в 2.4 табл 1. не соблюдается даже размерность 24-03-2014: Доктор Лом
Никаких ошибок, а тем более несоблюдения размерности в указанной вами расчетной схеме не вижу. Уточните, в чем именно ошибка. 09-10-2014: Саныч
Добрый день. А у М и Мmax разные единицы измерения? 09-10-2014: Саныч
Таблица 1. Расчет 2.1. Если l возводится в квадрат, значит Мmax будет в кг*м2 ? 09-10-2014: Доктор Лом
Нет, у М и Mmax единая единица измерения кгм или Нм. Так как распределенная нагрузка измеряется в кг/м (или Н/м), то значение момента будет кгм или Нм. 12-10-2014: Павел
Вечер добрый. Работаю я на производстве мягкой мебели и директор подкинул мне задачку. Прошу вашей помощи, т.к. не хочется решать ее "на глазок". 12-10-2014: Доктор Лом
Это зависит от множества факторов. К тому же толщину трубы вы не указали. Например, при толщине 2 мм момент сопротивления трубы W = 3.47 см^3. Соответственно максимальный изгибающий момент, который может выдержать труба, M = WR = 3.47x2000 = 6940 кгсм или 69.4 кгм, тогда максимально допустимая нагрузка для 2 труб q = 2х8M/l^2 = 2х8х69.4/2.2^2 = 229.4 кг/м (при шарнирных опорах и без учета крутящего момента, который может возникнуть при передаче нагрузки не по центру тяжести сечения). И это при статической нагрузке, а нагрузка скорее всего будет динамической, а то и ударной (в зависимости от конструкции дивана и активности детей, мои по диванам прыгают так, что дух захватывает), так что считайте сами. Статья "Расчетные значения для прямоугольных профильных труб" вам в помощь. 20-10-2014: ученик
Док, помогите пожалуйста. 21-10-2014: Доктор Лом
Для начала, жестко закрепленная балка и опорные участки - понятия несовместимые, посмотрите статью "Виды опор, какую расчетную схему выбрать". Судя по вашему описанию, у вас либо однопролетная шарнирно опертая балка с консолями (см. таблицу 3), либо трехпролетная жестко защемленная балка с 2 дополнительными опорами и не равными пролетами (в этом случае уравнения трех моментов вам в помощь). Но в любом случае опорные реакции при симметричной нагрузке будут одинаковыми. 21-10-2014: ученик
Я понял. По периметру первого этажа армопояс 200х300h, внешний периметр 4400х4400. В него заанкерено 3 швеллера, с шагом 1 м. Пролет без стоек, на одном из них самый тяжелый вариант, нагрузка несимметричная. Т.Е. считатьбалку как шарнирную? 21-10-2014: Доктор Лом
22-10-2014: ученик
вообще да. Я так понимаю, что прогиб швеллера провернет и сам армопояс в месте крепления, поэтому получится шарнирная балка? 22-10-2014: Доктор Лом
Не совсем так, сначала вы определяете момент от действия сосредоточенной нагрузки, затем момент от равномерно распределенной нагрузки по всей длине балки, затем момент, возникающий при действии равномерно распределенной нагрузки действующей на некотором участке балки. И только затем складываете значения моментов. Для каждой из нагрузок будет своя расчетная схема. 07-02-2015: Сергей
А не ошибка ли в формуле Mmax для случая 2.3 в таблице 3? Балка с консолью, наверно плюс вместо минуса должен быть в скобках 07-02-2015: Доктор Лом
Нет, не ошибка. Нагрузка на консоль уменьшает момент в пролете, а не увеличивает. Впрочем, это видно и по эпюре моментов. 17-02-2015: Антон
Здравствуйте, во-первых спасибо за формулы, сохранил в закладках. Подскажите, пожалуйста, есть брус над пролетом, на брус ложатся четыре лаги, расстояния: 180мм, 600мм, 600мм, 600мм, 325мм. С эпюрой, изгибающим моментом разобрался, не могу понять как изменится формула прогиба (таблица 1, схема 1,4), если максимальный момент на третьей лаге. 17-02-2015: Доктор Лом
Я уже отвечал несколько раз на подобные вопросы в комментариях к статье "Расчетные схемы для статически неопределимых балок". Но вам повезло, для наглядности я выполнил расчет по данным из вашего вопроса. Посмотрите статью "Общий случай расчета балки на шарнирных опорах при действии нескольких сосредоточенных нагрузок", возможно со временем я ее дополню. 22-02-2015: Роман
Док, я вообще не могу осилить эти все непонятные для меня формулы. Поэтому прошу у вас помощи. Хочу сделать в доме консольную лестницу (ступеньки из железобетона замуровать при постройке стены). Стена - ширина 20см, кирпич. Длина выступающей ступеньки 1200*300мм Хочу, чтоб ступеньки были правильной формы(не клином). Понимаю интуитивно, что арматура будет "чем-потолще" чтоб ступеньки были чем-потоньше? Но справится ли с железобетон толщиной до 3см нагрузкой в 150кг на краю? Помогите пожалуйста, так не хочется лохануться. Буду очень благодарен, если поможете расчитать... 22-02-2015: Доктор Лом
То, что вы не можете осилить достаточно простые формулы - это ваши проблемы. В разделе "Основы сопромата" все это разжевано достаточно подробно. Здесь же скажу, что ваш проект абсолютно не реален. Во-первых, стена или шириной 25 см или шлакоблочная (впрочем, могу ошибаться). Во-вторых ни кирпичная ни шлакоблочная стена не обеспечат достаточного защемления ступенек при указанной ширине стены. Кроме того, такую стену следует просчитывать на изгибающий момент, возникающий от консольных балок. В-третьих, 3 см - недопустимая толщина для железобетонной конструкции с учетом того что минимальный защитный слой должен составлять в балках не менее 15 мм. И так далее. 26-02-2015: Роман
02-04-2015: виталий
что означет х во второй таблице, 2.4 02-04-2015: Виталий
Добрый день! Каку схему (алгоритм) нужно подобрать для расчета балконной плиты, консоль, защемленная с одной стороны, как правильно расчитать моменты на опоре и в пролете?Можно ли ее расчитать как консольную балку, по схемам с таблицы 2, а именно пунктам 1,1 и 2,1. Спасибо! 02-04-2015: Доктор Лом
x во всех таблицах означает расстояние от начала отсчета до исследуемой точки, в которой мы собираемся определить изгибающий момент или другие параметры. Да вашу балконную плиту, если она сплошная и на нее действуют нагрузки, как в указанных схемах, можно по этим схемам рассчитывать. Для консольных балок максимальный момент всегда на опоре, потому большой необходимости определять момент в пролете нет. 03-04-2015: Виталий
Спасибо большое! Еще хотел уточнить. Я так понял если расчитывать по 2 табл. схема 1.1,(нагрузка приложена на конец консоли) тогда у меня х=L, и соответственно в пролете М=0. Как быть если у меня эта нагрузка еще и по торцам плиты? И по схеме 2.1 я считаю момент на опоре, плюсую его к моменту по схеме 1.1 и по правильному для того что бы заармировать мне нужно найти момент в пролете. Если у меня вылет плиты 1,45м(в свету), как мне расчитать "х" что бы найти момент в пролете? 03-04-2015: Доктор Лом
Момент в пролете будет изменяться от Ql на опоре до 0 в точке приложения нагрузки, что видно по эпюре моментов. Если у вас нагрузка приложена в двух точках на концах плиты, то в этом случае более целесообразно предусмотреть балки, воспринимающие нагрузки по краям. При этом плиту уже можно рассчитывать как балку на двух опорах - балках или плиту с опиранием по 3 сторонам. 03-04-2015: Виталий
Спасибо! По моментам я уже понял. Еще один вопрос. Если балконная плита опираеться с двух сторон, буквой "Г". Катой тогда расчетной схемой нужно пользоваться? 04-04-2015: Доктор Лом
В этом случае у вас будет пластина, защемленная по 2 сторонам и на моем сайте примеров расчета подобной плиты нет. 27-04-2015: Сергей
Уважаемый доктор Лом! 27-04-2015: Доктор Лом
Оценивать надежность подобной конструкции без расчетов не стану, а рассчитать вы ее можете по следующим критериям: 05-06-2015: ученик
Док, а где Вам можно картинку показать? 05-06-2015: ученик
А у Вас вроде еще форум был? 05-06-2015: Доктор Лом
Был, но времени на разгребание спама в поисках нормальных вопросов у меня совершенно нет. Поэтому пока так. 06-06-2015: ученик
Док, моя ссылка https://yadi.sk/i/GardDCAEh7iuG 07-06-2015: Доктор Лом
Выбор расчетной схемы будет зависеть от того, чего вы хотите: простоты и надежности или приближения к реальной работе конструкции путем последовательных приближений. 07-06-2015: ученик
Док, спасибо.Мне нужны простота и надежность. Этот участок-самый нагруженный. Я подумывал даже о том, чтобы завязать стойку бака на затяжку стропил, для снижения нагрузки на перекрытие, учитывая, что на зиму вода будет сливаться. В такие дебри расчетов мне не залезть. В общем случае консоль будет снижать прогиб? 07-06-2015: ученик
Док, еще вопрос. консоль получается в середине пролета окна, имеет ли смысл смещение к краю? С уважением 07-06-2015: Доктор Лом
В общем случае консоль будет снижать прогиб, но как я уже говорил на сколько сильно в вашем случае - большой вопрос, да и смещение к центру оконного проема будет уменьшать роль консоли. И еще, если это у вас самый нагруженный участок, то может быть просто усилить балку, например еще одним таким же швеллером? Я ваших нагрузок не знаю, но нагрузка от 100 кг воды и половины веса бака не кажется мне такой уж внушительной, а вот швеллера 8П с точки зрения прогиба при 4 м пролете проходят ли с учетом динамической нагрузки при ходьбе? 08-06-2015: ученик
Док, спасибо за добрый совет. После выходных пересчитаю балку как двухпролетную на шарнирах. Если будет большая динамика при ходьбе, я конструктивно закладываю возможность уменьшения шага балок перекрытия. Домик дачный, поэтому динамика терпима. Большее влияние оказывает поперечное смещение швеллеров, но это лечится установкой поперечных связей или креплением настила. Единственно, не посыпется ли бетонная заливка? предполагаю её опору на верхнюю и нижнюю полки швеллера плюс сварная арматура в ребрах и сетка поверху. 08-06-2015: Доктор Лом
Я вам уже говорил, на консоль рассчитывать не стоит. 09-06-2015: ученик
Док, я понял. 29-06-2015: Сергей
Добрый день. Хотелось бы у Вас по интересоваться: отливали фундамент: сваи из бетона глубиной 1.8м, а потом отливали бетоном ленту глубиной 1м. Вопрос вот в чем: нагрузка передаётся только на сваи или она равномерно распределяется и на сваи и на ленту? 29-06-2015: Доктор Лом
Как правило сваи делаются при слабых грунтах, чтобы нагрузка на основание передавалась через сваи, поэтому ростверки по сваям рассчитываются, как балки на опорах-сваях. Тем не менее, если вы заливали ростверк по уплотненному грунту, то часть нагрузки будет передаваться основанию через ростверк. В этом случае ростверк рассматривается как балка, лежащая на упругом основании, и представляет собой обычный ленточный фундамент. Примерно так. 29-06-2015: Сергей
Спасибо. Просто на участке получается смесь глины, песка. Причём слой глины очень твёрдый: слой можно снять только при помощи лома и т.д.,т.п. 29-06-2015: Доктор Лом
Я всех ваших условий не знаю (расстояние между сваями, этажность и пр.). По вашему описанию получается, что вы сделали обычный ленточный фундамент и сваи для надежности. Поэтому вам достаточно определить, достаточно ли будет ширины фундамента для передачи нагрузки от дома основанию. 05-07-2015: Юрий
Здравствуйте! Нужна Ваша помощь в расчете. Металлическая воротина 1,5 х1,5 м весом 70 кг крепится на металлической трубе, забетонированной на глубину 1,2 м и обложенной кирпичом (столб 38 на 38 см).Какого сечения и толщины должна быть труба, чтобы не было изгиба? 05-07-2015: Доктор Лом
Вы правильно предположили, что вашу стойку следует рассматривать, как консольную балку. И даже с расчетной схемой вы почти угадали. Дело в том, что на вашу трубу будут действовать 2 силы (на верхнем и нижнем навесе) и значение этих сил будет зависеть от расстояния между навесами. Больше подробностей в статье "Определение вырывающего усилия (почему дюбель не держится в стене)". Таким образом в вашем случае следует выполнить 2 расчета прогиба по расчетной схеме 1.2, а затем полученные результаты сложить с учетом знаков (проще говоря из одного значения вычесть другое). 05-07-2015: Юрий
Спасибо за ответ. Т.е. мною расчет сделан по максимуму с большим запасом, и вновь рассчитанная величина прогиба всяко будет меньше? 06-07-2015: Доктор Лом
01-08-2015: Павел
Подскажите, пожалуйста, на схеме 2.2 таблицы 3 как определить прогиб в точке C, если длины консольных участков различны? 01-08-2015: Доктор Лом
В этом случае вам нужно пройти полный цикл. Есть ли в этом необходимость или нет, я не знаю. Для примера посмотрите статью, посвященную расчету балки на действие нескольких равномерно сосредоточенных нагрузок (ссылка на статью перед таблицами). 04-08-2015: Юрий
К моему вопросу от 05 июля 2015г. Есть ли какое правило минимальной величины защемления в бетоне данной металлической консольной балки 120х120х4 мм с воротиной 70 кг.- (например, не менее 1/3 длины) 04-08-2015: Доктор Лом
Вообще-то расчет защемления - отдельная большая тема. Дело в том, что сопротивление бетона сжатию - это одно, а деформации грунта, на который давит бетон фундамента - это совсем другое. Если коротко, то чем больше длина профиля и чем больше площадь, контактирующего с грунтом, тем лучше. 05-08-2015: Юрий
Спасибо! В моем случае металлическая стойка ворот будет заливаться в бетонной свае диаметром 300 мм длиной 1 м., а сваи по верху будут соединены бетонным ростверком с арматурным каркасом? бетон везде М 300. Т.е. деформации грунта не будет. Хотелось бы знать приблизительное, пусть с большим запасом прочности, соотношение. 05-08-2015: Доктор Лом
Тогда действительно 1/3 длины для создания жесткого защемления должно хватить. Посмотрите для примера статью "Виды опор, какую расчетную схему выбрать". 05-08-2015: Юрий
20-09-2015: Карла
21-09-2015: Доктор Лом
Можно сначала рассчитать балку отдельно на каждую нагрузку по представленным здесь расчетным схемах, а затем полученные результаты сложить с учетом знаков. 08-10-2015: Наталья
Здравствуйте, доктор))) 08-10-2015: Доктор Лом
Как я понял, вы ведете речь о балке из таблицы 3. Для такой балки максимальный прогиб будет не посредине пролета, а ближе к опоре А. В целом величина прогиба и расстояние х (до точки максимального прогиба) зависят от длины консоли, поэтому в вашем случае следует воспользоваться уравнениями начальных параметров, приведенных в начале статьи. Максимальный прогиб в пролете будет в точке, где угол поворота наклонного сечения равен нулю. Если консоль достаточно длинная, то прогиб на конце консоли может быть даже больше, чем в пролете. 22-10-2015: Александр
22-10-2015: Иван
Огромное спасибо Вам за ваши разъяснения. Предстоит куча работ по своему дому. Беседки, навесы, опоры. Попробую вспомнить то что в свое время старательной проспал а потом случайно сдал во Сов.ВТУЗ-е. 27-11-2015: Михаил
А разве не в СИ все размерности? (см коммент 08-06-2013 от Виталия) 27-11-2015: Доктор Лом
Какие именно вы будете использовать единицы кгс или Ньютоны, кгс/см^2 или Паскали, не имеет принципиального значения. В итоге вы все равно получите на выходе сантиметры (или метры). См коммент 09-06-2013 от Доктора Лома. 28-04-2016: Денис
Здравствуйте у меня балка по схеме 1.4. какая формула для нахождения поперечной силы 28-04-2016: Доктор Лом
Для каждого участка балки значения поперечной силы будут разные (что впрочем видно по соответствующей эпюре поперечных сил). На первом участке 0 < x < a, поперечная сила будет равна опорной реакции А. На втором участке a < x < l-b, поперечная сила будет равна А-Q и так далее, больше подробностей смотрите в статье "Основы сопромата. Расчетные формулы". 31-05-2016: Виталий
Спасибо огромное, вы большой молодец! 14-06-2016: Денис
Во время наткнулся на ваш сайт. Чуть не промахнулся с расчетами всегда думал что консольная балка с нагрузкой на конце балки будет прогибаться сильнее чем с равномерно распределенной нагрузкой а формулы 1.1 и 2.1 в таблице 2 показывают обратное. Спасибо за вашу работу 14-06-2016: Доктор Лом
Вообще-то сравнивать сосредоточенную нагрузку с равномерно распределенной имеет смысл лишь тогда когда одна нагрузка приведена к другой. Например при Q = ql формула определения прогиба по расчетной схеме 1.1 примет вид f = ql^4/3EI, т.е. прогиб будет в 8/3 = 2.67 раза больше, чем при просто равномерно распределенной нагрузке. Так что формулы для расчетных схем 1.1 и 2.1 ничего обратного не показывают и изначально вы были правы. 16-06-2016: инженер гарин
добрый день! вот все-таки никак не могу взять в толк-буду очень признателен, если поможете раз и навсегда разобраться-при расчете (любом) обычной балки двутавровой с обычной распределенной нагрузкой по длине какой момент инерции использовать - Iy или Iz и почему? ни в одном учебнике сопромата не могу найти-всюду пишут, что сечение должно стремиться к квадрату и брать надо наименьший момент инерции. Никак не могу ухватить за хвост физический смысл-можно это как-то на пальцах истрактовать? 16-06-2016: Доктор Лом
Я вам советую для начала посмотреть статьи "Основы сопромата" и "К расчету гибких стержней на действие сжимающей внецентренной нагрузки", там все достаточно подробно и наглядно разъяснено. Здесь же добавлю, что мне кажется, вы путаете расчеты на поперечный и продольный изгиб. Т.е. когда нагрузка перпендикулярна нейтральной оси стержня, то определяется прогиб (поперечный изгиб), когда нагрузка параллельна нейтральной оси балки, то определяется устойчивость, другими словами, влияние продольного изгиба на несущую способность стержня. Конечно же при расчетах на поперечную нагрузку (вертикальную нагрузку для горизонтальной балки) момент инерции следует принимать в зависимости от того, какое положение имеет балка, но в любом случае это будет Iz. А при расчетах на устойчивость, при условии, что нагрузка приложена по центру тяжести сечения, рассматривается наименьший момент инерции, так как вероятность потери устойчивости именно в этой плоскости значительно больше. 23-06-2016: Денис
Здравствуйте, такой вопрос почему в таблице 1 для формул 1.3 и 1.4 формулы прогиба по сути одинаковые и размер b. в формуле 1.4 ни как не отражен? 23-06-2016: Доктор Лом
При несимметричной нагрузке формула прогиба для расчетной схемы 1.4 будет достаточно громоздкой, но при этом следует помнить, что прогиб в любом случае будет меньше, чем при приложении симметричной нагрузки (конечно же при условии b 03-11-2016: vladimir
в таблице 1 для формул 1.3 и 1.4 формулы прогиба вместо Qa^3/24EI должно быть Ql^3/24EI. Долго не мог понять почему прогиб с кристаллом не сходится 03-11-2016: Доктор Лом
Все верно, еще одна опечатка из-за невнимательного редактирования (надеюсь, что последняя, но не факт). Исправил, спасибо за внимательность. 16-12-2016: иван
Здравствуйте, Доктор Лом. Вопрос следующий: просматривал фото со стройки и заметил одну вещь: Жб заводская перемычка 30*30 см примерно, оперта на трехслойную жб панель сантиметров на 7. (жб панель немного подпилили для опирания на нее перемычки). Проем под балконную раму 1,3 м, по верху перемычки армопояс и плиты перекрытия чердака. Критичны ли эти 7 см, опирание другого конца перемычки больше 30 см, все стоит нормально несколько лет уже 16-12-2016: Доктор Лом
Если есть еще и армопояс, то нагрузка на перемычку может значительно снизиться. Думаю, все будет нормально и там даже при 7 см достаточно большой запас по прочности на опорной площадке. Но вообще нужно конечно же считать. 25-12-2016: Иван
Доктор, а если предположить, ну чисто теоретически 25-12-2016: Доктор Лом
Думаю, даже в этом случае ничего не случится. Но повторю, для более точного ответа нужен расчет. 09-01-2017: Андрей
В таблице 1 в формуле 2.3 для вычисления прогиба вместо "q" указана "Q". Формула 2.1 для вычисления прогиба, являясь частным случаем формулы 2.3, при вобставлении воответствующих значений (a=c=l, b=0) приобретает другой вид. 09-01-2017: Доктор Лом
Все верно была опечатка, но теперь это не имеет значения. Формулу прогиба для такой расчетной схемы я брал из справочника Фесика С.П., как наиболее короткую для частного случая х = а. Но как вы правильно подметили - эта формула не проходит проверки на граничные условия, поэтому я ее вообще убрал. Оставил только формулу для определения начального угла поворота, чтобы упростить определение прогиба по методу начальных параметров. 02-03-2017: Доктор Лом
В учебных пособиях, насколько я знаю, такой частный случай не рассматривается. Тут поможет только программное обеспечение, например, Лира. 24-03-2017: Еагений
Добрый день в формуле прогиба 1.4 в первой таблице - значение в скобках всегда получаетсья отрицательным 24-03-2017: Доктор Лом
Все правильно, во всех приведенных формулах отрицательный знак в формуле прогиба означает, что балка прогибается вниз по оси у. 29-03-2017: Оксана
Добрый день, доктор лом. Не могли бы Вы написать статейку про крутящий момент в металлической балке - когда он вообще возникает, при каких расчётных схемах, ну и, конечно же, расчёт хотелось бы от Вас увидеть с примерами. У меня - мет балка шарнирно опёртая, один край консольный и на него приходит сосредоточенная нагрузка, а по всей балке распределённая от ж.б. тонкой плиты 100 мм и стены ограждения. Эта балка крайняя. С ж.б. плитой соединяется приваренными к балке с шагом 600 мм стержнями 6 мм. Не могу понять будет ли там крутящий момент, если да - то как его найти и рассчитать сечение балки в связи с ним? Доктор Лом
Виктор, эмоциональные поглаживания - это конечно хорошо, но их на хлеб не намажешь и семью ими не прокормишь. Для ответа на ваш вопрос требуются расчеты, расчеты - это время, а время - это не эмоциональные поглаживания. 13-11-2017: 1
В таблице 2, пример №1.1 ошибка в формуле для тэта(икс) 04-06-2019: Антон
Здравствуйте, уважаемый доктор у меня вопрос по методу начальных параметров. В начале статьи, у вас написано, что формулу прогиба балки можно получить - дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота. 05-06-2019: Доктор Лом
Ошибка в том, что вы проинтегрировали не уравнение моментов, а результат решения этого уравнения для точки посредине балки, а это разные вещи. Кроме того при сложении следует внимательно следить за знаком "+" или "-". Если вы внимательно проанализируете формулу прогиба, приводимую для данной расчетной схемы, то поймете о чем речь. А еще при интегрировании угла поворота результат q*l4/48, а не q*l4/96 и в окончательной формуле он будет идти с минусом, так как такой начальный угол поворота будет приводить к прогибу балку ниже оси х. 09-07-2019: Александр
Приветствую, в Т.1 2.3 формулы для моментов что принимается за X? Середина распределенной нагрузки? 09-07-2019: Доктор Лом
Для всех таблиц, расстояние х - это расстояние от точки начала координат (как правило опора А) до рассматриваемой точки на нейтральной оси балки. Т.е. приведенные формулы позволяют определить значение момента для любого поперечного сечения балки. При расчете изгибаемых элементов строительных конструкций на прочность применяется метод расчета по предельным состояниям. В большинстве случаев основное значение при оценке прочности балок и рам имеют нормальные напряжения в поперечных сечениях. При этом наибольшие нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балки, не должны превышать некоторой допустимой для данного материала величины. В методе расчета по предельным состояниям эта величина принимается равной расчетному сопротивлению R,
умноженному на коэффициент условий работы у с.
Условие прочности имеет следующий вид: Значения R
и у с
для различных материалов приведены в СНиП по строительным конструкциям. Для балок из пластичного материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, целесообразно использовать сечения с двумя осями симметрии. В этом случае условие прочности (7.33) с учетом формулы (7.19) записывается в виде Иногда по конструктивным соображениям применяются балки с несимметричным сечением типа тавра, разнополочного двутавра и т.п. В этих случаях условие прочности (7.33) с учетом (7.17) записывается в виде
В формулах (7.34) и (7.35) W z
и W HM -
моменты сопротивления сечения относительно нейтральной оси Oz„
М нб - наибольший по абсолютной величине изгибающий момент от действия расчетных нагрузок, т.е. с учетом коэффициента надежности по нагрузке у^. Сечение балки, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент, называется опасным сечением.
При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на изгиб, решаются следующие задачи: проверка прочности балки; подбор сечения; определение несущей способности (грузоподъемности) балки,
т.е. определение значений нагрузок, при которых наибольшие напряжения в опасном сечении балки не превышают значения y c R.
Решение первой задачи сводится к проверке выполнения условий прочности при известных нагрузках, форме и размерах сечения и свойствах материала. Решение второй задачи сводится к определению размеров сечения заданной формы при известных нагрузках и свойствах материала. Вначале из условий прочности (7.34) или (7.35) определяется величина требуемого момента сопротивления а затем устанавливаются размеры сечения. Для прокатных профилей (двутавры, швеллеры) по величине момента сопротивления подбор сечения производится по сортаменту. Для непрокатных сечений устанавливаются характерные размеры сечения. При решении задачи по определению грузоподъемности балки вначале из условий прочности (7.34) или (7.35) находится величина наибольшего расчетного изгибающего момента по формуле Затем изгибающий момент в опасном сечении выражается через приложенные к балке нагрузки и из полученного выражения определяются соответствующие величины нагрузок. Например, для стальной двутавровой балки 130, изображенной на рис. 7.47, при R =
210 МПа, у с =
0,9, W z
= 472 см 3 находим По эпюре изгибающих моментов находим
Рис. 7.47 В балках, нагруженных большими по величине сосредоточенными силами, близко расположенными к опорам (рис. 7.48), изгибающий момент М нб может оказаться сравнительно небольшим, а поперечная сила 0 нб по абсолютной величине может быть значительной. В этих случаях необходимо производить проверку прочности балки по наибольшим касательным напряжениям т нб. Условие прочности по касательным напряжениям можно записать в виде где R s -
расчетное сопротивление материала балки при сдвиге. Значения R s
для основных строительных материалов приведены в соответствующих разделах СНиП. Касательные напряжения могут достигать значительной величины в стенках двутавровых балок, особенно в тонких стенках составных балок. Расчет на прочность по касательным напряжениям может иметь решающее значение для деревянных балок, так как дерево плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон. Так, например, для сосны расчетное сопротивление растяжению и сжатию при изгибе R =
13 МПа, а при скалывании вдоль волокон R CK
= 2,4 МПа. Такой расчет необходим также при оценке прочности элементов соединений составных балок - сварных швов, болтов, заклепок, шпонок и т.п. Условие прочности на скалывание вдоль волокон для деревянной балки прямоугольного сечения с учетом формулы (7.27) можно записать в виде Пример 7.15.
Для балки, показанной на рис. 7.49, а,
построим эпюры Q y
и M v
подберем сечение балки в виде стального прокатного двутавра и построим эпюры с х
и т в сечениях с наибольшими Q y
и M z .
Коэффициент надежности по нагрузке y f =
1,2, расчетное сопротивление R
= 210 МПа = 21 кН/см 2 , коэффициент условий работы у с =
1,0. Расчет начинаем с определения опорных реакций: Вычислим значения Q y
и M z
в характерных сечениях балки.
Поперечные силы в пределах каждого участка балки являются постоянными величинами и имеют скачки в сечениях под силой и на опоре В.
Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюры Q y
и M z
приведены на рис. 7.49, б, в.
Опасным является сечение в середине пролета балки, где изгибающий момент имеет наибольшее значение. Вычислим расчетное значение наибольшего изгибающего момента: Требуемый момент сопротивления равен По сортаменту принимаем сечение 127 и выписываем необходимые геометрические характеристики сечения (рис. 7.50, а):
Вычислим значения наибольших нормальных напряжений в опасном сечении балки и проверим ее прочность: Прочность балки обеспечена. Касательные напряжения имеют наибольшие значения на участке балки, где действует наибольшая по абсолютной величине поперечная сила (2 нб = 35 кН. Расчетное значение поперечной силы Вычислим значения касательных напряжений в стенке двутавра на уровне нейтральной оси и на уровне сопряжения стенки с полками: Эпюры с х
и х, в сечении л: = 2,4 м (справа) приведены на рис. 7.50, б, в.
Знак касательных напряжений принят отрицательным, как соответствующий знаку поперечной силы. Пример 7.16.
Для деревянной балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.51, а)
построим эпюры Q
и M z ,
определим высоту сечения h
из условия прочности, приняв R = =
14 МПа, уу= 1,4 и у с =
1,0, и проверим прочность балки на скалывание по нейтральному слою, приняв R CK =
2,4 МПа. Определим опорные реакции: Вычислим значения Q v
и M z
В пределах второго участка поперечная сила обращается в нуль. Положение этого сечения находим из подобия треугольников на эпюре Q y:
Вычислим экстремальное значение изгибающего момента в этом сечении: Эпюры Q y
и M z
приведены на рис. 7.51, б, в.
Опасным является сечение балки, где действует максимальный изгибающий момент. Вычислим расчетное значение изгибающего момента в этом сечении: Требуемый момент сопротивления сечения Выразим с помощью формулы (7.20) момент сопротивления через высоту сечения h
и приравняем его требуемому моменту сопротивления:
Принимаем прямоугольное сечение 12x18 см. Вычислим геометрические характеристики сечения: Определим наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении балки и проверим ее прочность: Условие прочности выполняется. Для проверки прочности балки на скалывание вдоль волокон надо определить значения максимальных касательных напряжений в сечении с наибольшей по абсолютной величине поперечной силой 0 нб = 6 кН. Расчетное значение поперечной силы в этом сечении Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении действуют на уровне нейтральной оси. Согласно закону парности они действуют также в нейтральном слое, стремясь вызвать сдвиг одной части балки относительно другой части. Используя формулу (7.27), вычислим значение т тах и проверим прочность балки на скалывание: Условие прочности на скалывание выполняется. Пример 7.17.
Для деревянной балки круглого сечения (рис. 7.52, а)
построим эпюры Q y n M z n
определим из условия прочности необходимый диаметр сечения. В расчетах примем R
= 14 МПа, уу = 1,4 и у с
= 1,0. Определим опорные реакции:
Вычислим значения Q
и М 7
в характерных сечениях балки. Эпюры Q y
и M z
приведены на рис. 7.52, б, в.
Опасным является сечение на опоре В
с наибольшим по абсолютной величине изгибающим моментом М нб = 4 кНм. Расчетное значение изгибающего момента в этом сечении Вычислим требуемый момент сопротивления сечения: Используя формулу (7.21) для момента сопротивления круглого сечения, найдем требуемый диаметр: Примем D=
16 см и определим наибольшие нормальные напряжения в балке: Пример
7.18.
Определим грузоподъемность балки коробчатого сечения 120x180x10 мм, нагруженной согласно схеме на рис. 7.53, а.
Построим эпюры с х
и т в опасном сечении. Материал балки - сталь марки ВСтЗ, R =
210 МПа = 21 кН/см 2 , У/=
U, Ус =
°’ 9 - Эпюры Q y
и M z
приведены на рис. 7.53, а.
Опасным является сечение балки вблизи заделки, где действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент М нб - Р1 =
3,2 Р.
Вычислим момент инерции и момент сопротивления коробчатого сечения: Учитывая формулу (7.37) и полученное значение для Л/ нб, определим расчетное значение силы Р:
Нормативное значение силы Наибольшие нормальные напряжения в балке от действия расчетной силы Вычислим статический момент половины сечения ^1/2 и статический момент площади поперечного сечения полки S n
относительно нейтральной оси: Касательные напряжения на уровне нейтральной оси и на уровне сопряжения полки со стенками (рис. 7.53, б)
равны: Эпюры о х
и т ух
в сечении вблизи заделки приведены на рис. 7.53, в, г.
Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб
Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок
Построение эпюр Q и М по уравнениям
Построение эпюр Q и М по характерным сечениям (точкам)
Расчёты на прочность при прямом изгибе балок
Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок
Понятие о центре изгиба
Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия
деформации балок и условия их жёсткости
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
Метод непосредственного интегрирования
Примеры определения перемещений в балках методом
непосредственного интегрирования
Физический смысл постоянных интегрирования
Метод начальных параметров (универсальное уравнение
изогнутой оси балки).
Примеры определения перемещений в балке по методу начальных
параметров
Определение перемещений по методу Мора.
Правило А.К. Верещагина. Вычисление интеграла Мора по правилу А.К. Верещагина
Примеры определения перемещений посредством интеграла Мора
Библиографический список
Прямой изгиб.
Плоский поперечный изгиб.
1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов
для балок
Прямым изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечных
сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент
и поперечная сила. В частном случае, поперечная сила может быть равна нулю,
тогда изгиб называется чистым.
При плоском поперечном изгибе все силы расположены в одной из главных
плоскостей инерции стержня и перпендикулярны его продольной оси, в той же
плоскости расположены моменты (рис. 1.1, а,б).
Рис. 1.1
Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна
алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил,
действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила в
сечении m-n балки (рис. 1.2, а) считается положительной, если равнодействующая
внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, и отрицательной –
в противоположном случае (рис. 1.2, б).
Рис. 1.2
Вычисляя поперечную силу в данном сечении, внешние силы, лежащие слева
от сечения, берут со знаком плюс, если они направлены вверх, и со знаком минус,
если вниз. Для правой части балки – наоборот.
5
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен
алгебраической сумме моментов относительно центральной оси z сечения всех
внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Изгибающий момент в сечении m-n балки (рис. 1.3, а) считается положительным,
если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по
стрелке часов, а справа – против часовой стрелки, и отрицательным – в
противоположном случае (рис. 1.3, б).
Рис. 1.3
При вычислении изгибающего момента в данном сечении моменты внешних
сил, лежащие слева от сечения, считаются положительными, если они направлены
по ходу часовой стрелки. Для правой части балки – наоборот. Удобно определять
знак изгибающего момента по характеру деформации балки. Изгибающий момент
считается положительным, если в рассматриваемом сечении отсечённая часть балки
изгибается выпуклостью вниз, т. е. растягиваются нижние волокна. В
противоположном случае изгибающий момент в сечении отрицательный.
Между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью
нагрузки q существуют дифференциальные зависимости.
1. Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна
интенсивности распределенной нагрузки, т.е.
. (1.1)
2. Первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна
поперечной силе, т. е.
. (1.2)
3. Вторая производная по абсциссе сечения равна интенсивности
распределённой нагрузки, т. е.
. (1.3)
Распределенную нагрузку, направленную вверх, считаем положительной.
Из дифференциальных зависимостей между М, Q, q вытекает ряд важных
выводов:
1. Если на участке балки:
а) поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает;
б) поперечная сила отрицательна, то изгибающий момент убывает;
в) поперечная сила равна нулю, то изгибающий момент имеет постоянное
значение (чистый изгиб);
6
г) поперечная сила проходит через нуль, меняя знак с плюса на минус,
max
M M, в противоположном случае M Mmin.
2. Если на участке балки распределенная нагрузка отсутствует, то поперечная
сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
3. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка, то
поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по
закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия
нагрузки (в случае построения эпюры М со стороны растянутых волокон).
4. В сечении под сосредоточенной силой эпюра Q имеет скачок (на величину
силы), эпюра М - излом в сторону действия силы.
5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок,
равный значению этого момента. На эпюре Q это не отражается.
При сложном нагружении балки строят эпюры поперечных сил Q и
изгибающих моментов М. Эпюрой Q(M) называется график, показывающий закон
изменения поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки. На основе
анализа эпюр М и Q устанавливают опасные сечения балки.
Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх, а отрицательные –
вниз от базисной линии, проводимой параллельно продольной оси балки.
Положительные ординаты эпюры М откладываются вниз, а отрицательные – вверх,
т. е. эпюра М строится со стороны растянутых волокон. Построение эпюр Q и М для
балок следует начинать с определения опорных реакций. Для балки с одним
защемленным и другим свободным концами построение эпюр Q и М можно
начинать от свободного конца, не определяя реакций в заделке.
1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям
Балка разбивается на участки, в пределах которых функции для изгибающего
момента и поперечной силы остаются постоянными (не имеют разрывов).
Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил, пар сил и
места изменения интенсивности распределенной нагрузки. На каждом участке
берется произвольное сечение на расстоянии х от начала координат, и для этого
сечения составляются уравнения для Q и М. По этим уравнениям строятся эпюры Q
и M.
Пример 1.1
Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для заданной
балки (рис. 1.4,а).
Решение:
1. Определение реакций опор. Составляем уравнения равновесия:
из которых получаем
Реакции опор определены правильно. Балка имеет четыре участка
Рис. 1.4
нагружения: СА, AD, DB, BE.
2. Построение эпюры Q. Участок СА. На участке СА 1проводим
произвольное сечение 1-1 на расстоянии x1 от левого конца балки. Определяем Q
как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 1-1:
Знак минус взят потому, что сила, действующая слева от сечения, направлена
вниз. Выражение для Q не зависит от переменной x1. Эпюра Q на этом участке
изобразится прямой, параллельной оси абсцисс. Участок AD. На участке проводим
произвольное сечение 2-2 на расстоянии x2 от левого конца балки.
Определяем Q2 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих
слева от сечения 2-2:
8
Величина Q постоянна на участке (не зависит от переменной x2). Эпюра Q на
участке представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Участок DB. На
участке проводим произвольное сечение 3-3 на расстоянии x3 от правого конца
балки. Определяем Q3 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих
справа от сечения 3-3:
Полученное выражение есть уравнение наклонной прямой линии.
Участок BE. На участке проводим сечение 4-4 на расстоянии x4 от правого
конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил,
действующих справа от сечения 4-4:
4 Здесь знак плюс взят потому, что равнодействующая нагрузка справа от
сечения 4-4 направлена вниз.
По полученным значениям строим эпюры Q (рис. 1.4, б).
3. Построение эпюры М. Участок м1. Определяем изгибающий
момент в сечении 1-1 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева
от сечения 1-1.
– уравнение прямой.
Участок A 3Определяем изгибающий момент в сечении 2-2 как
алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 2-2.
– уравнение прямой.
Участок DB 4Определяем изгибающий момент в сечении 3-3 как
алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 3-3.
– уравнение квадратной параболы.
9
Находим три значения на концах участка и в точке с координатой xk , где
Участок BE 1Определяем изгибающий момент в сечении 4-4 как
алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 4-4.
– уравнение квадратной параболы
находим три значения M4:
По полученным значениям строим эпюру М (рис. 1.4, в).
На участках CA и AD эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси
абсцисс, а на участках DB и BE – наклонными прямыми. В сечениях C, A и B на
эпюре Q имеют место скачки на величину соответствующих сил, что служит
проверкой правильности построения эпюры Q.
На участках, где Q 0, моменты возрастают слева направо. На участках,
гдеQ 0, моменты убывают. Под сосредоточенными силами имеются изломы в
сторону действия сил. Под сосредоточенным моментом имеет место скачок на
величину момента. Это указывает на правильность построения эпюры М.
Пример 1.2
Построить эпюры Q и М для балки на двух опорах, нагруженной
распределенной нагрузкой, интенсивность которой меняется по линейному закону
(рис. 1.5, а).
Решение
Определение реакций опор. Равнодействующая распределенной нагрузки равна
площади треугольника, представляющего собой эпюру нагрузки
и приложена в центре тяжести этого треугольника. Составляем суммы моментов
всех сил относительно точек А и В:
Построение эпюры Q. Проведем произвольное сечение на расстоянии x от
левой опоры. Ордината эпюры нагрузки, соответствующая сечению, определяется
из подобия треугольников
Равнодействующая той части нагрузки, которая распложена слева от
сечения
Поперечная сила в сечении равна
Поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы
Приравнивая уравнение поперечной силы нулю, находим абсциссу того
сечения, в котором эпюра Q переходит через нуль:
Эпюра Q представлена на рис. 1.5, б. Изгибающий момент в произвольном
сечении равен
Изгибающий момент изменяется по закону кубической параболы:
Максимальное значение изгибающий момент имеет в сечении, где 0, т. е.
при
Эпюра М представлена на рис. 1.5, в.
1.3. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям
(точкам)
Используя дифференциальные зависимости между М, Q, q и выводы,
вытекающие из них, целесообразно строить эпюры Q и М по характерным сечениям
(без составления уравнений). Применяя этот способ, вычисляют значения Q и М в
характерных сечениях. Характерными сечениями являются граничные сечения
участков, а также сечения, где данный внутренний силовой фактор имеет
экстремальное значение. В пределах между характерными сечениями очертание
12
эпюры устанавливается на основе дифференциальных зависимостей между М, Q, q и
выводами, вытекающими из них.
Пример 1.3
Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на рис. 1.6, а.
Рис. 1.6.
Решение:
Построение эпюр Q и М начинаем от свободного конца балки, при этом
реакции в заделке можно не определять. Балка имеет три участка нагружения: АВ,
ВС, CD. На участках АВ и ВС распределенная нагрузка отсутствует. Поперечные
силы постоянны. Эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс.
Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюра М ограничена
прямыми, наклонными к оси абсцисс. На участке CD имеется равномерно
распределенная нагрузка. Поперечные силы изменяются по линейному закону, а
изгибающие моменты – по закону квадратной параболы с выпуклостью в сторону
действия распределенной нагрузки. На границе участков АВ и ВС поперечная сила
изменяется скачкообразно. На границе участков ВС и CD скачкообразно изменяется
изгибающий момент.
1. Построение эпюры Q.
Вычисляем значения поперечных сил Q в граничных сечениях участков:
По результатам расчетов строим эпюру Q для балки (рис. 1, б). Из эпюры Q
следует, что поперечная сила на участке CD равна нулю в сечении, отстоящем на
расстоянии qa a
q от начала этого участка. В этом сечении изгибающий момент
имеет максимальное значение.
2. Построение эпюры М.
Вычисляем значения изгибающих моментов в граничных сечениях участков:
При мaаксимальный момент на участке
По результатам расчетов строим эпюру М (рис. 5.6, в).
Пример 1.4
По заданной эпюре изгибающих моментов (рис. 1.7, а) для балки (рис.
1.7, б) определить действующие нагрузки и построить эпюру Q. Кружком
обозначена вершина квадратной параболы.
Решение:
Определим нагрузки, действующие на балку. Участок АС загружен равномерно
распределённой нагрузкой, так как эпюра М на этом участке – квадратная парабола.
В опорном сечении В к балке приложен сосредоточенный момент, действующий по
часовой стрелке, так как на эпюре М имеем скачок вверх на величину момента. На
участке СВ балка не нагружена, т. к. эпюра М на этом участке ограничена
наклонной прямой. Реакция опоры В определяется из условия, что изгибающий
момент в сечении С равен нулю, т. е.
Для определения интенсивности распределенной нагрузки составим выражение
для изгибающего момента в сечении А как сумму моментов сил справа и
приравняем к нулю
Теперь определим реакцию опоры А. Для этого составим выражение для
изгибающих моментов в сечении как сумму моментов сил слева
Расчетная схема балки с нагрузкой показана на рис. 1.7, в. Начиная с левого
конца балки, вычисляем значения поперечных сил в граничных сечениях участков:
Эпюра Q представлена на рис. 1.7, г. Рассмотренная задача может быть решена
путем составления функциональных зависимостей для М, Q на каждом участке.
Выберем начало координат на левом конце балки. На участке АС эпюра М
выражается квадратной параболой, уравнение которой имеет вид
Постоянные а, b, с находим из условия, что парабола проходит через три точки
с известными координатами:
Подставляя координаты точек в уравнение параболы, получим:
Выражение для изгибающего момента будет
Дифференцируя функцию М1, получим зависимость для поперечной cилы
После дифференцирования функции Q получим выражение для интенсивности
распределённой нагрузки
На участке СВ выражение для изгибающего момента представляется в виде
линейной функции
Для определения постоянных а и b используем условия, что данная прямая
проходит через две точки, координаты которых известны
Получим два уравнения: ,b
из которых имеем a 20.
Уравнение для изгибающего момента на участке СВ будет
После двукратного дифференцирования М2 найдём
По найденным значениям М и Q строим эпюры изгибающих моментов и
поперечных сил для балки. Помимо распределённой нагрузки к балке
прикладываются сосредоточенные силы в трех сечениях, где на эпюре Q имеются
скачки и сосредоточенные моменты в том сечении, где на эпюре М имеется скачок.
Пример 1.5
Для балки (рис. 1.8, а) определить рациональное положение шарнира С, при
котором наибольший изгибающий момент в пролете равен изгибающему моменту в
заделке (по абсолютной величине). Построить эпюры Q и М.
Решение
Определение реакций опор. Несмотря на то, что общее число опорных связей
равно четырем, балка статически определима. Изгибающий момент в шарнире С
равен нулю, что позволяет составить дополнительное уравнение: сумма моментов
относительно шарнира всех внешних сил, действующих по одну сторону от этого
шарнира, равна нулю. Составим сумму моментов всех сил справа от шарнира С.
Эпюра Q для балки ограничена наклонной прямой, так как q = const.
Определяем значения поперечных сил в граничных сечениях балки:
Абсцисса xK сечения, где Q = 0, определяется из уравнения
откуда
Эпюра М для балки ограничена квадратной параболой. Выражения для
изгибающих моментов в сечениях, где Q = 0, и в заделке записываются
соответственно так:
Из условия равенства моментов
получаем квадратное уравнение относительно искомого параметра х:
Реальное значение x2x 1,029 м. Определяем численные значения поперечных
сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки
На рис.1.8, б показана эпюра Q, а на рис. 1.8, в – эпюра М.
Рассмотренную задачу можно было решить способом расчленения шарнирной
балки на составляющие ее элементы, как это показано на рис. 1.8, г. В начале
определяются реакции опор VC и VB . Строятся эпюры Q и М для подвесной балки
СВ от действия приложенной к ней нагрузки. Затем переходят к основной балке АС,
нагрузив ее дополнительной силой VC , являющейся силой давления балки СВ на
балку АС. После чего строят эпюры Q и М для балки АС.
1.4. Расчеты на прочность при прямом изгибе балок
Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям. При прямом
изгибе балки в поперечных сечениях ее возникают нормальные и касательные
напряжения (рис. 1.9).
18
Рис. 1.9
Нормальные напряжения связаны с изгибающим моментом, касательные
напряжения связаны с поперечной силой. При прямом чистом изгибе касательные
напряжения равны нулю. Нормальные напряжения в произвольной точке
поперечного сечения балки определяются по формуле
(1.4)
где M – изгибающий момент в данном сечении;
Iz – момент инерции сечения относительно нейтральной оси z;
y – расстояние от точки, где определяется нормальное напряжение, до
нейтральной оси z.
Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и
достигают наибольшей величины в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси
Если сечение симметрично относительно нейтральной оси (рис. 1.11), то
Рис. 1.11
наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы и определяются
по формуле,
– осевой момент сопротивления сечения при изгибе.
Для прямоугольного сечения шириной b высотой h:
(1.7)
Для круглого сечения диаметра d:
(1.8)
Для кольцевого сечения
– соответственно внутренний и наружный диаметры кольца. Для балок
из пластичных материалов наиболее рациональными являются симметричные
20
формы сечений (двутавровое, коробчатое, кольцевое). Для балок из хрупких
материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию,
рациональными являются сечения, несимметричные относительно нейтральной оси
z (тавр., П-образное, несимметричный двутавр). Для балок постоянного сечения из
пластичных материалов при симметричных формах сечений условие прочности
записывается так:
(1.10)
где Mmax – максимальный изгибающий момент по модулю; – допускаемое напряжение для материала.
Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при
несимметричных формах сечений условие прочности записывается в следующем
виде:
(1.11)
Для балок из хрупких материалов с сечениями, несимметричными
относительно нейтральной оси, в случае, если эпюра М однозначна (рис. 1.12),
нужно
записать два условия прочности
– расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек
соответственно растянутой и сжатой зон опасного сечения; P – допускаемые напряжения соответственно на растяжение и сжатие.
Рис.1.12.
21
Если эпюра изгибающих моментов имеет участки разных знаков (рис. 1.13), то
помимо проверки сечения 1-1, где действуетMmax, необходимо произвести расчет по
наибольшим растягивающим напряжениям для сечения 2-2 (с наибольшим
моментом противоположного знака).
Рис. 1.13
Наряду с основным расчетом по нормальным напряжениям в ряде случаев
приходится делать проверку прочности балки по касательным напряжениям.
Касательные напряжения в балки вычисляются по формуле Д. И. Журавского
(1.13)
где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки;
Szотс – статический момент относительно нейтральной оси площади части
сечения, расположенной по одну сторону прямой, проведенной через данную точку
и параллельной оси z;
b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки;
Iz – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси z.
Во многих случаях максимальные касательные напряжения возникают на
уровне нейтрального слоя балки (прямоугольник, двутавр, круг). В таких случаях
условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде, (1.14)
где Qmax – наибольшая по модулю поперечная сила;
– допускаемое касательное напряжение для материала.
Для прямоугольного сечения балки условие прочности имеет вид
(1.15)
А – площадь поперечного сечения балки.
Для круглого сечения условие прочности представляется в виде
(1.16)
Для двутаврового сечения условие прочности записывается так:
(1.17)
где Szо,тmсax – статический момент полусечения относительно нейтральной оси;
d – толщина стенки двутавра.
Обычно размеры поперечного сечения балки определяются из условия
прочности по нормальным напряжениям. Проверка прочности балок по
касательным напряжениям производится в обязательном порядке для коротких
балок и балок любой длинны, если вблизи опор имеются сосредоточенные силы
большой величины, а также для деревянных, клёпанных и сварных балок.
Пример 1.6
Проверить прочность балки коробчатого сечения (рис. 1.14) по нормальным и
касательным напряжениям, если МПа.
Построить эпюры в опасном сечении балки.
Рис. 1.14
Решение
23
1. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям. Рассматривая левую
часть балки, получим
Эпюра поперечных сил представлена на рис. 1.14,в.
Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.14, г.
2. Геометрические характеристики поперечного сечения
3. Наибольшие нормальные напряжения в сечение С, где действует Mmax (по
модулю): МПа.
Максимальные нормальные напряжения в балке практически равны допускаемым.
4. Наибольшие касательные напряжения в сечении С (или А), где действует
max
Q (по модулю):
Здесь – статический момент площади полусечения
относительно нейтральной оси;
b2 см – ширина сечения на уровне нейтральной оси.
5. Касательные напряжения в точке (в стенке) в сечении С:
Рис. 1.15
Здесь Szomc 834,5 108 см3 – статический момент площади части сечения,
расположенной выше линии, проходящей через точку K1;
b2 см – толщина стенки на уровне точки K1. Эпюры и для сечения С
балки показаны рис. 1.15.
Пример 1.7
Для балки, показанной на рис. 1.16, а, требуется:
1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по характерным
сечениям (точкам).
2. Определить размеры поперечного сечения в виде круга, прямоугольника и
двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям, сравнить площади
сечений.
3. Проверить подобранные размеры сечений балок по касательным напряжения.
Дано:
Решение:
1. Определяем реакции опор балки
Проверка:
2. Построение эпюр Q и М. Значения поперечных сил в характерных сечениях
балки
25
Рис. 1.16
На участках CA и AD интенсивность нагрузки q = const. Следовательно, на этих
участках эпюра Q ограничивается прямыми, наклонными к оси. На участке DB
интенсивность распределенной нагрузки q = 0, следовательно, на этом участке
эпюра Q ограничивается прямой, параллельной оси х. Эпюра Q для балки показана
на рис. 1.16,б. Значения изгибающих моментов в характерных сечениях балки:
На втором участке определяем абсциссу x2 сечения, в котором Q = 0:
Максимальный момент на втором участке
Эпюра М для балки показана на рис. 1.16, в.
2. Составляем условие прочности по нормальным напряжениям
откуда определяем требуемый осевой момент сопротивления сечения
из выражения
определяемый требуемый диаметр d балки круглого
сечения
Площадь круглого сечения
Для балки прямоугольного сечения
Требуемая высота сечения
Площадь прямоугольного сечения
Определяем требуемый номер двутавровой балки. По таблицам ГОСТ 8239-89
находим ближайшее большее значение осевого момента сопротивления 597см3, которое соответствует двутавру № 33 с характеристиками: A z 9840 см4.
Проверка на допуск:
(недогрузка на 1 % от допустимого 5 %) ближайший
двутавр № 30 (W 2 см3) приводит к значительной перегрузке (более 5%).
Окончательно принимаем двутавр № 33.
Сравниваем площади круглого и прямоугольного сечений с наименьшей
площадью А двутавра:
Из трех рассмотренных сечений наиболее экономичным является двутавровое
сечение.
3. Вычисляем наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении
27
двутавровой балки (рис. 1.17, а):
Нормальные напряжения в стенке около полки двутаврового сечения балки
Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки показана на
рис. 1.17, б.
5. Определяем наибольшие касательные напряжения для подобранных сечений
балки.
а) прямоугольное сечение балки:
б) круглое сечение балки:
в) двутавровое сечение балки:
Касательные напряжения в стенке около полки двутавра в опасном сечении А
(справа) (в точке 2):
Эпюра касательных напряжений в опасных сечениях двутавра показана на рис.
1.17,в. Максимальные касательные напряжения в балке не превышают допускаемых
напряжений
Пример 1.8
Определить допускаемую нагрузку на балку (рис. 1.18, а), если60МПа,
размеры поперечного сечения заданы (рис. 1.19, а).
Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки при
допускаемой нагрузке.
Рис 1.18
1. Определение реакций опор балки. Ввиду симметрии системы
2. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям. Поперечные силы в
характерных сечениях балки:
Эпюра Q для балки показана на рис. 5.18, б.
Изгибающие моменты в характерных сечениях балки
Для второй половины балки ординаты М – по осям симметрии. Эпюра М для
балки показана на рис. 1.18, б.
3.Геометрические характеристики сечения (рис. 1.19).
Разбиваем фигуру на два простейших элемента: двутавр – 1 и прямоугольник –
2.
Рис. 1.19
По сортаменту для двутавра № 20 имеем
Для прямоугольника:
Статический момент площади сечения относительно оси z1
Расстояние от оси z1 до центра тяжести сечения
Момент инерции сечения относительно главной центральной оси z всего
сечения по формулам перехода к параллельным осям
4. Условие прочности по нормальным напряжениям для опасной точки «а»
(рис. 1.19) в опасном сечении I (рис. 1.18):
После подстановки числовых данных
5. При допускаемой нагрузке в опасном сечении нормальные напряжения в
точках «а» и «b» будут равны:
Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения 1-1 показана на рис.
1.19, б.
Деформация изгиба
заключается в
искривлении оси прямого стержня или в
изменении начальной кривизны прямого
стержня (рис. 6.1). Ознакомимся
с основными понятиями, которые используются
при рассмотрении деформации изгиба. Стержни, работающие на изгиб, называют
балками
. Чистым
называется изгиб, при котором
изгибающий момент является единственным
внутренним силовым фактором, возникающем
в поперечном сечении балки. Чаще, в поперечном сечении стержня
наряду с изгибающим моментом возникает
также и поперечная сила. Такой изгиб
называют поперечным. Плоским (прямым)
называют изгиб,
когда плоскость действия изгибающего
момента в поперечном сечении проходит
через одну из главных центральных осей
поперечного сечения. При косом изгибе
плоскость действия
изгибающего момента пересекает поперечное
сечение балки по линии, не совпадающей
ни с одной из главных центральных осей
поперечного сечения. Изучение деформации изгиба начнем со
случая чистого плоского изгиба. Как уже было сказано, при чистом плоском
изгибе в поперечном сечении из шести
внутренних силовых факторов не равен
нулю только изгибающий момент (рис. 6.1,
в): Опыты, поставленные на эластичных
моделях, показывают, что если на
поверхность модели нанести сетку линий
(рис. 6.1, а), то при чистом изгибе она
деформируется следующим образом
(рис. 6.1, б): а) продольные линии
искривляются по длине
окружности; б) контуры поперечных сечений остаются
плоскими; в) линии контуров сечений всюду
пересекаются с продольными волокнами
под прямым углом. На основании этого можно предположить,
что при чистом изгибе поперечные сечения
балки остаются плоскими и поворачиваются
так, что остаются нормальными к изогнутой
оси балки (гипотеза плоских сечений при
изгибе). Рис. 6.1
Замеряя длину продольных линий (рис.
6.1, б), можно обнаружить, что верхние
волокна при деформации изгиба балки
удлиняются, а нижние укорачиваются.
Очевидно, что можно найти такие волокна,
длина которых остается неизменной.
Совокупность волокон, не меняющих своей
длины при изгибе балки, называется
нейтральным слоем (н. с.)
. Нейтральный
слой пересекает поперечное сечение
балки по прямой, которая называетсянейтральной линией (н. л.) сечения
. Для вывода формулы, определяющей величину
нормальных напряжений, возникающих в
поперечном сечении, рассмотрим участок
балки в деформированном и не деформированном
состоянии (рис. 6.2). Рис. 6.2
Двумя бесконечно малыми поперечными
сечениями выделим элемент длиной
Длина этого волокна после деформации
(длина дуги
Его относительная деформация
Очевидно, что
Следовательно, относительная продольная
деформация пропорциональна расстоянию
волокна от нейтральной оси. Введем предположение, что при изгибе
продольные волокна не надавливают друг
на друга. При таком предположении каждое
волокно деформируется изолировано,
испытывая простое растяжение или сжатие,
при котором
т. е. нормальные напряжения прямо
пропорциональны расстояниям рассматриваемых
точек сечения от нейтральной оси. Подставим зависимость (6.3) в выражение
изгибающего момента
Вспомним, что интеграл Зависимость (6.4) представляет собой
закон Гука при изгибе, поскольку она
связывает деформацию (кривизну
нейтрального слоя
Подставим (6.4) в (6.3) Это и есть искомая формула для определения
нормальных напряжений при чистом изгибе
балки в любой точке ее сечения. Для того, чтобы установить,
где в поперечном сечении находится
нейтральная линия подставим значение
нормальных напряжений в выражение
продольной силы Поскольку
Равенство (6.6) указывает, что ось
Равенство (6.7) показывает что
Согласно (6.5) наибольшей величины
напряжения достигают в волокнах наиболее
удаленных от нейтральной линии Отношение
Значение
Для прямоугольного поперечного сечения где
Для круглого поперечного сечения где
Условие прочности по нормальным
напряжениям при изгибе можно записать
в виде Все полученные формулы получены для
случая чистого изгиба прямого стержня.
Действие же поперечной силы приводит
к тому, что гипотезы, положенные в основу
выводов, теряют свою силу. Однако практика
расчетов показывает, что и при поперечном
изгибе балок и рам, когда в сечении кроме
изгибающего момента
Вы имеете в виду, что для вращающихся валов схемы будут другие из-за вращательного момента? Не знаю на сколько это важно, так как в книге по техмашу написано, что в случае токарной обработки, прогиб, вносимый вращательным моментом на валу, очень мал по сравнению с прогибом от радиальной составляющей силы резания. Что думаете?
Расчет строительных конструкций, деталей машин и т.п., как правило состоит из двух этапов: 1. расчет по предельным состояниям первой группы - так называемый расчет на прочность, 2. расчет по предельным состояниям второй группы. Одним из видов расчета по предельным состояниям второй группы является расчет на прогиб.
В вашем случае на мой взгляд более важным будет расчет на прочность. Более того на сегодняшний день существуют 4 теории прочности и расчет по каждой из этих теорий - разный, но во всех теориях при расчете учитывается влияние как изгибающего так и крутящего момента.
Прогиб при действии крутящего момента происходит в другой плоскости, но все равно при расчетах учитывается. А уж малый этот прогиб или большой - расчет покажет.
Я не специализируюсь на расчетах деталей машин и механизмов и потому авторитетную литературу по этому вопросу указать не смогу. Впрочем, в любом справочнике инженера-конструктора узлов и деталей машин эта тема должна быть должным образом раскрыта.
mail: [email protected]
Skype: dmytrocx75
Q - в килограммах.
l - в сантиметрах.
E - в кгс/см2.
I - см4.
Все верно? Что-то странные результаты получаются.
Если речь идет о ростверке, то в зависимости от способа его устойства, он может рассчитываться как балка на двух опорах, или как балка на упругом основании.
Вообще при расчете столбчатых фундаментов следует руководствоваться требованиями СНиП 2.03.01-84.
Кроме того, если нагрузка на фундамент передается от внецентренно нагруженной колонны или не только от колонны, то на подушку будет действовать дополнительный момент. При расчетах это следует учитывать.
Но еще раз повторю, не занимайтесь самолечением, руководствуйтесь требованиями указанного СНиПа.
Однако в указанных вами случаях (кроме 1.3) максимальный прогиб может быть не посредине балки, потому определение расстояния от начала балки до сечения, где будет максимальный прогиб - отдельная задача. Недавно подобный вопрос обсуждался в теме "Расчетные схемы для статически неопределимых балок", посмотрите там.
Суть проблемы такова: в основании дивана планируется металлическая рама из профилированной трубы 40х40 или 40х60, лежащая на двух опорах расстояние между которыми 2200 мм. ВОПРОС: хватит ли сечения профиля при нагрузках от собственного веса дивана + возьмем 3 человека по 100 кг???
Жестко закрепленная балка, пролет 4 м, опирание по 0,2 м. Нагрузки: распределенная 100 кг/м по балке, плюс распределенная 100 кг/м на участке 0-2 м, плюс сосредоточенная 300 кг посредине (на 2 м). Определил опорные реакции: А – 0,5 т; В – 0,4 т. Дальше я завис: для определения изгибающего момента под сосредоточенной нагрузкой необходимо посчитать сумму моментов всех сил справа и слева от нее. Плюс появляется момент на опорах.
Как считаются нагрузки в этом случае? Надо привести все распределенные нагрузки к сосредоточенным и суммировать (вычесть из опорной реакции * расстояние) согласно формул расчетной схемы? В Вашей статье про фермы раскладка всех сил понятна, а здесь я не могу въехать в методику определения действующих сил.
Максимальный момент посредине, получается M=Q+2q+от несимметричной нагрузки по максимуму 1,125q. Т.е. я сложил все 3 нагрузки, это правильно?
Если не готовы все это осилить, то лучше обратитесь к профессиональному проектировщику - дешевле выйдет.
Подскажите, пожалуйста, по какой схеме нужно рассчитать прогиб балки вот такого механизма https://yadi.sk/i/MBmS5g9kgGBbF. Или может быть, не вдаваясь в расчеты, подскажите подойдет ли для стрелы 10 или 12 двутавр, максимальный груз 150-200 кг, высота подъема 4-5 метров. Стойка – труба d=150, поворотный механизм или полуось, или передняя ступица Газели. Укос можно сделать жестким из того же двутавра, а не тросом. Спасибо.
1. Стрелу можно рассматривать как двухпролетную неразрезную балку с консолью. Опорами для этой балки будут не только стойка (это средняя опора), но и узлы крепления троса (крайние опоры). Это статически неопределимая балка, но для упрощения расчетов (что приведет к небольшому повышению запаса прочности) стрелу можно рассматривать как просто однопролетную балку с консолью. Первая опора - узел крепления троса, вторая - стойка. Тогда ваши расчетные схемы 1.1 (для груза - временной нагрузки) и 2.3 (собственный вес стрелы - постоянная нагрузка) в таблице 3. А если груз будет посредине пролета, то 1.1 в таблице 1.
2. При этом нельзя забывать, что временная нагрузка у вас будет не статическая, а как минимум динамическая (см. статью "Расчет на ударные нагрузки").
3. Для определения усилий в тросе нужно разделить опорную реакцию в месте крепления троса на синус угла между тросом и балкой.
4. Вашу стойку можно рассматривать как металлическую колонну с одной опорой - жестким защемлением внизу (см. статью "Расчет металлических колонн"). К этой колонне нагрузка будет приложена с очень большим эксцентриситетом, если не будет контргруза.
5. Расчет узлов сопряжений стрелы и стойки и прочие тонкости расчета узлов машин и механизмов на данном сайте пока не рассматриваются.
какая расчетная схема в итоге получается для балки перекрытия и консольной балки, а также повлияет ли на уменьшение прогиба балки перекрытия (розовая) консольная балка (коричневый цвет)?
стена - пеноблок D500, высота 250 ширина 150, балка армопояса (голубая): 150х300, армирование 2х?12, верх и низ, дополнительно низ в пролете окна и верха в местах опирания балки на проем окна – сетки?5, ячейка 50. В углах бетонные колонны 200х200, пролет балки армопояса 4000 без стен.
перекрытие: швеллер 8П (розовый), для расчета брал 8У, вварен и заанкерен с арматурой балки армопояса, забетонирован, от низа балки до швеллера 190 мм, от верха 30, пролет 4050.
слева от консоли – проем для лестницы, опирание швеллера на трубу?50 (зеленая), пролет до балки 800.
справа от консоли (желтый) – санузел (душ, туалет) 2000х1000, пол – заливка армированной ребристой поперечной плиты, габариты 2000х1000 высота 40 – 100 на несъемной опалубке (профлист, волна 60) + плитка на клее, стены –гипсокартон на профилях. Остальной пол- доска 25, фанера, линолеум.
В точках стрелок опирание стоек бака с водой, 200л.
Стены 2 этажа: обшивка доской 25 с двух сторон, с утеплителем, высота 2000, опирание на армопояс.
крыша: стропила –треугольная арка с затяжкой, вдоль балки перекрытия, с шагом 1000, опирание на стены.
консоль: швеллер 8П, пролет 995, сварена с арматурой с усилением, забетонирована в балку, приварена к швеллеру перекрытия. пролет справа и слева по балке перекрытия – 2005.
Пока варю арматурный каркас, есть возможность сдвинуть консоль вправо-влево, но влево вроде не за чем?
В первом случае балку перекрытия можно рассматривать как шарнирно опертую двухпролетную балку с промежуточной опорой - трубой, а швеллер, который вы называете консольной балкой, вообще не учитывать. Вот собственно и весь расчет.
Далее, чтобы просто перейти к балке с жестким защемлением на крайних опорах, следует сначала рассчитать армопояс на действие крутящего момента и определить угол поворота поперечного сечения армопояса с учетом нагрузки от стен 2 этажа и деформаций материала стен под действием крутящего момента. И таким образом рассчитывать двухпролетную балку с учетом этих деформаций.
Кроме того в этом случае следует учесть возможную просадку опоры - трубы, так как она опирается не на фундамент, а на ж/б плиту (как я понял из рисунка) и эта плита будет деформироваться. Да и сама труба будет испытывать деформацию сжатия.
Во втором случае, если вы хотите учесть возможную работу коричневого швеллера, вам следует рассматривать его как дополнительную опору для балки перекрытия и таким образом сначала рассчитывать 3пролетную балку (опорная реакция на дополнительной опоре и будет нагрузкой на консольную балку), затем определять величину прогиба на конце консольной балки, пересчитывать основную балку с учетом просадки опоры и кроме всего прочего также учитывать угол поворота и прогиб армопояса в месте крепления коричневого швеллера. И это еще далеко не все.
Для расчета консоли и установки лучше взять половину пролета от стойки до балки (4050-800-50=3200/2=1600-40/2=1580) или от края окна (1275-40=1235. Да и нагрузку на балку как оконное перекрытие придется пересчитать, но у Вас есть такие примеры. Единсвенное, нагрузку брать как приложенную на балку сверху? Будет ли перераспределение нагрузки, приложенной почти по оси баки?
Вы предполагаете опирание плит перекрытия на нижнюю полку швеллера, но как быть с другой стороной? В вашем случае двутавр был бы более приемлемым вариантом (или по 2 швеллера как балка перекрытия).
С другой стороной проблем нет-уголок на закладных в теле балки. С расчетом двухпролетной балки с разными пролетами и разными нагрузками пока не справился, попробую перештудировать Вашу статью по расчету многопролетной балки методом моментов.
Я рассчитал по табл. 2, п. 1.1. (#comments) как прогиб консольной балки с нагрузкой 70 кг, плечом 1,8 м, труба квадратная 120х120х4 мм, моментом инерции 417 см4. У меня получился прогиб – 1,6 мм? Верно или нет?
P.S. А точность расчетов я не проверяю, тут уж только на себя надейтесь.
Можно сразу составлять уравнения статического равновесия системы и решать эти уравнения.
У меня балка по схеме 2.3. В Вашей таблице дана формула для расчета прогиба в середине пролета l/2, а по какой формуле можно просчитать прогиб на конце консоли? Прогиб в середине пролета будет максимальным? Сравнивать с предельно допустимым прогибом по СНиПу "Нагрузки и воздействия" полученный по этой формуле результат надо используя величину l - расстояние между точками А и В? Заранее спасибо, я что-то запуталась совсем. И еще, не могу найти первоисточник, из которого взяты эти таблицы - можно ли название указать?
Когда вы сравниваете полученный результат прогиба в пролете со СНиПовкским, то длина пролета - это расстояние l между А и В. Для консоли вместо l принимается расстояние 2а (двойной вылет консоли).
Данные таблицы я составил сам, воспользовавшись различными справочниками по теории сопротивления материалов, проверяя при этом данные на предмет возможных опечаток, а также общими методами расчета балок, когда необходимые на мой взгляд схемы в справочниках отсутствовали, поэтому первоисточников много.
что арматура в армопоясе над балкой полностью разрушена, армопояс треснет и ляжет на балку вместе с плитами перекрытия? Хватит ли этих 7 см опорной площадки?
Допустим я не знаю прогиб балки расчетной схемы 2.1 (табл. 1) . Я дважды проинтегрирую изгибающий момент ∫q*l2/8dx=q*l3/24;∫q*l3/24dx=q*l4/96.
После разделю значение на EI. q*l4/(96*EI).
И прибавлю к нему результат интегрирования угла поворота это - ∫q*l3/24dx=q*l4/96. q*l4/(96*EI)+q*l4/(96*EI)=q*l4/(48*EI).
У вас получается значение -5*q*l4/(384*EI).
Подскажите пожалуйста. Где я допустил ошибку?
в характерных сечениях балки.
Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.
.
До деформации сечения, ограничивающие
элемент
,
были параллельны между собой (рис. 6.2,
а), а после деформации они несколько
наклонились, образуя угол
.
Длина волокон, лежащих в нейтральном
слое, при изгибе не меняется
.
Обозначим радиус кривизны следа
нейтрального слоя на плоскости чертежа
буквой
.
Определим линейную деформацию
произвольного волокна
,
отстоящего на расстоянии
от нейтрального слоя.
)
равна
.
Учитывая, что до деформации все волокна
имели одинаковую длину
,
получим, что абсолютное удлинение
рассматриваемого волокна
,
так как длина волокна, лежащего в
нейтральном слое не изменилась. Тогда
после подстановки
получим
(6.2)
.
С учетом (6.2)
, (6.3)
в поперечном сечении (6.1)
.
представляет собой момент инерции
сечения относительно оси
.
(6.4)
)
с действующим в сечении моментом.
Произведение
носит название жесткости сечения при
изгибе, Н·м 2 .
(6.5)
и изгибающего момента
,
;
(6.6)
(6.7)
– нейтральная ось сечения – проходит
через центр тяжести поперечного сечения.
и
- главные центральные оси сечения.
представляет собой осевой момент
сопротивления сечения
относительно его центральной оси
,
значит
для простейших поперечных сечений
следующее:
, (6.8)
-
сторона сечения перпендикулярная оси
;
- сторона сечения параллельная оси
;
, (6.9)
- диаметр круглого поперечного
сечения.
(6.10)
действует еще продольная
сила
и поперечная сила
,
можно пользоваться формулами,
приведенными для чистого изгиба.
Погрешность при этом получается
незначительной.
