Сегодня рассмотрим самый простой и самый древний способ домашней заготовки...
Пусть требуется найти с точностью до (с недостатком). Расположим вычисления так:
Мы сначала находим приближенный корень с точностью до 1 только из целого числа 2. Получим 1 (и в остатке 1). Пишем в корне цифру 1 и ставим после нее запятую. Теперь находим цифру десятых. Для этого приписываем к остатку 1 цифры 3 и 5, стоящие направо от запятой, и продолжаем извлечение так, как будто мы извлекали корень из целого числа 235. Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых. Остальные цифры подкоренного числа (104) нам не нужны. Что полученное число 1,5 будет действительно приближенным корнем с точностью до , видно из следующего; если бы мы находили наибольший целый корень из 235 с точностью до 1, то получили бы 15, значит,
Разделив каждое из этих чисел на 100, получим:
(От прибавления числа 0,00104 двойной знак ≤ должен измениться, очевидно, на знак <, а знак > остается (так как 0,00104 < 0,01).)
Пусть требуется найти с точностью до приближенный с недостатком. Найдем целое число, потом - цифру десятых, затем и цифру сотых. Корень из целого числа будет 15 целых. Чтобы получить цифру десятых, надо, как мы видели, приписать к остатку 23 еще две цифры, стоящие направо от запятой:
В нашем примере этих цифр нет вовсе; ставим на их место нули. Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто находим корень из целого числа 24800, мы найдем цифру десятых 7. Остается найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку 151 еще два нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим корень из целого числа 2480000. Получаем 15,74. Что это число действительно есть приближенный корень из 248 с точностью до с недостатком, видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый квадратный корень из целого числа 2480000, то получили бы 1574, значит,
Разделив каждое из этих чисел на 10000 (1002), получим:
15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.
Значит, 15,74 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближенным корнем с недостатком с точностью до до 248.
Правило . Чтобы извлечь из данного целого числа или из данной десятичной дроби приближенный корень с недостатком с точностью до , до , до и т. д., находят сначала приближенный корень с недостатком с точностью до 1, извлекая корень из целого числа (если его нет, пишут в корне 0 целых).
Потом находят цифру десятых. Для этого к остатку приписывают две цифры покоренного числа, стоящие направо от запятой (если их нет, приписывают к остатку два нуля), и продолжают извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых.
Затем находят цифру сотых. Для этого к остатку приписывают снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были только что снесены, и т. д.
Таким образом, при извлечении корня из целого числа с десятичной дробью число надо делить на грани по две цифры в каждой, начиная от запятой, как влево (в целой части числа), так и вправо (в дробной части) .
Примеры.
В последнем примере мы обратили дробь в десятичную, вычислив восемь десятичных знаков, чтобы образовались четыре грани, потребные для нахождения четырех десятичных знаков корня.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ с некоторой наперёд заданной точностью $\varepsilon$. Если непосредственное нахождение первообразной подынтегральной функции $f(x)$ чересчур громоздко, или же интеграл $\int f(x)dx$ вообще не берётся, то в этих случаях можно использовать функциональные ряды. В частности, применяются ряды Маклорена, с помощью которых получают разложение в степенной ряд подынтегральной функции $f(x)$. Именно поэтому в работе нам будет нужен документ с рядами Маклорена .
Степенные ряды, которые мы и станем использовать, сходятся равномерно, поэтому их можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Схема решения подобных задач на вычисление интегралов с помощью рядов проста:
- Разложить подынтегральную функцию в функциональный ряд (обычно в ряд Маклорена).
- Произвести почленное интегрирование членов записанного в первом пункте функционального ряда.
- Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью $\varepsilon$.
Задачи на вычисление интегралов с помощью рядов популярны у составителей типовых расчётов по высшей математике. Поэтому в данной теме мы разберём пять примеров, в каждом из которых требуется вычислить определенный интеграл с точностью $\varepsilon$.
Пример №1
Вычислить $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx$ с точностью до $\varepsilon=10^{-3}$.
Сразу отметим, что интеграл $\int e^{-x^2}dx$ не берётся, т.е. первообразная подынтегральной функции не выражается через конечную комбинацию элементарных функций. Иными словами, стандартными способами (подстановка, интегрирование по частям и т.д.) первообразную функции $e^{-x^2}$ найти не удастся.
Для таких задач есть два варианта оформления, поэтому рассмотрим их отдельно. Условно их можно назвать "развёрнутый" и "сокращённый" варианты.
Развёрнутый вариант оформления
ряд Маклорена :
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\ldots$$
$$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{\left(-x^2\right)^2}{2}+\frac{\left(-x^2\right)^3}{6}+\ldots=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots$$
Интегрируем полученное разложение на отрезке $\left$:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left(1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots\right)dx=\\ =\left.\left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\ldots\right)\right|_{0}^{1/2}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}-\frac{1}{42\cdot{2^7}}+\ldots$$
Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Это значит, что если для вычисления приближенного значения заданного интеграла взять $k$ членов полученного ряда, то погрешность не превысит модуля $(k+1)$-го члена ряда.
Согласно условию, точность $\varepsilon=10^{-3}$. Так как $\frac{1}{42\cdot{2^7}}=\frac{1}{5376}<10^{-3}$, то для достижения требуемой точности достаточно ограничиться первыми тремя членами знакочередующегося ряда:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}=\frac{443}{960}.$$
Погрешность полученного равенства не превышает $\frac{1}{5376}$.
Однако суммировать обычные дроби - дело утомительное, поэтому чаще всего расчёты ведут в десятичных дробях:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}\approx{0{,}5}-0{,}0417+0{,}0031\approx{0{,}461}.$$
Разумеется, в этом случае нужно учитывать погрешность округления. Первое слагаемое (т.е. $0{,}5$) было рассчитано точно, поэтому никакой погрешности округления там нет. Второе и третье слагаемые брались с округлением до четвёртого знака после запятой, посему погрешность округления для каждого из них не превысит $0,0001$. Итоговая погрешность округления не превысит $0+0{,}0001+0{,}0001=0{,}0002$.
Следовательно, суммарная погрешность равенства $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx{0{,}461}$ не превысит $0{,}0002+\frac{1}{5376}<10^{-3}$, т.е. значение интеграла вычислено с требуемой точностью.
Сокращённый вариант оформления
Запишем разложение функции $e^x$ в ряд Маклорена :
$$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$
Данное разложение верно при всех $x\in{R}$. Подставим $-x^2$ вместо $x$:
$$e^{-x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}$$
Интегрируем полученный ряд на отрезке $\left$:
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}dx= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}x^{2n}dx=\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left.\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right|_{0}^{1/2}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}}{n!\cdot(2n+1)}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}$$
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{24}+\frac{1}{320}-\frac{1}{5376}+\ldots$$
Все рассуждения, что были сделаны относительно погрешностей в развёрнутом варианте оформления остаются в силе, т.е. $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}\approx{0{,}461}$.
Чем сокращённый вариант записи лучше развёрнутого?
Во-первых, нам не нужно угадывать, сколько членов ряда взять в изначальном разложении, чтобы вычислить определенный интеграл с заданной точностью. Например, мы записали в самом начале решения:
$$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots$$
Однако почему мы решили, что нужно взять именно четыре члена ряда? А вдруг нужно взять два члена ряда или пять, или сто? Если бы только шестой член ряда оказался меньше чем $\varepsilon$, - что тогда? А тогда пришлось бы возвращаться в самое начало решения, добавлять ещё пару членов ряда и интегрировать их. А если и этого не хватит, то проделать эту процедуру ещё раз.
Сокращённый вид записи таким недостатком не страдает. Мы получаем числовой ряд, записанный в общем виде, поэтому можем брать столько его членов, сколько потребуется.
Исходя из вышеперечисленных причин, я предпочитаю именно сокращённый способ записи. В дальнейнем все решения в этой теме будут оформлены в сокращённой форме.
Ответ : $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx{0{,}461}$.
Пример №2
Вычислить определённый интеграл $\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx$ с точностью до $\varepsilon=10^{-3}$, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и проинтегрировав почленно.
Начнём с разложения подынтегральной функции $\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}$ в ряд Маклорена. Запишем разложение функции $\cos{x}$ в ряд Маклорена :
$$\cos{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{(2n)!}$$
Данное разложение верно при всех $x\in{R}$. Подставим вместо $x$ дробь $\frac{5x}{3}$:
$$\cos{\frac{5x}{3}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{\left(\frac{5x}{3}\right)}^{2n}}{(2n)!}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}.$$
Теперь разложим $1-\cos\frac{5x}{3}$:
$$ 1-\cos\frac{5x}{3}=1-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} $$
Забирая из суммы $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}$ первый член, получим: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}$. Следовательно:
$$ 1-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1-\left(1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\right)=\\ =-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$
Последнее, что остаётся - это разделить на $x$:
$$ \frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}=\frac{1}{x}\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. $$
Интегрируем данное разложение на отрезке $\left$:
$$ \int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}dx= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}{x}^{2n-1}dx=\\ =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\cdot\left.\frac{x^{2n}}{2n}\right|_{0}^{1/5}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}} $$
Получили знакочередующийся ряд. Запишем несколько первых членов этого ряда (до тех пор, пока записанный член не станет меньше $\varepsilon$):
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\frac{1}{36}-\frac{1}{7776}+\ldots$$
Так как $\frac{1}{7776}<\varepsilon$, то для вычисления интеграла с точностью $\varepsilon$ достаточно первого члена полученного числового ряда:
$$\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx\frac{1}{36}\approx{0{,}028}.$$
Ответ : $\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx{0{,}028}$.
Продолжение темы вычисления интегралов с помощью рядов Маклорена продолжим во
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Приближенное вычисление значений функций
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х , принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x ). Для этого применяют следующие приемы:
- если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена .
Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
В общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: 
(или x
Пример 1 . Пользуясь разложением в ряд sinx , вычислить sin20 o с точностью до 0,0001.
Решение
. Чтобы можно было пользоваться формулой (2), необходимо выразить значение аргумента в радианной мере. Получаем 
. Подставляя это значение в формулу, получаем
Полученный ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям Лейбница. Так как 
, то этот и все последующие члены ряда можно отбросить, ограничиваясь первыми двумя членами. Таким образом,
Пример 2 . Вычислить с точностью до 0,01.
Решение . Воспользуемся разложением , где (см. пример 5 в предыдущей теме):
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
.
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем
.
Пример 3 . Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Приближенное вычисление определенных интегралов
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Пример 4 : Вычислить интеграл с точностью до 0,00001.
Решение . Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.
Пример 5 . Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
Следовательно, 
.
Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного
Дифференциального уравнения
В частых случаях, когда ОДУ не решается в общем виде, решить задачу Коши для него можно приближенно, в виде первых нескольких членов разложения решения в ряд Тейлора (в окрестности данной точки)
Пример Найти первые 3 члена разложения в ряд решения задачи Коши
Решение : Будем искать решение задачи в виде
Коэффициент у (1)=2 – это начальное условие задачи Коши.
Коэффициент найдем из уравнения, подставив в него начальные условия:
Продифференцируем обе части данного уравнения, чтобы найти :
Таким образом,
Решить : Вычислить приближенно с указанной точностью:
A 1) до 0,0001 2) до 0,0001 3) до 0,01 4) ln6 до 0,01
5) до 0,001 6) до 0,001 7) до 0,01
8) до 0,001 9) 
до 0,001 10) 
до 0,001
11) до 0,001 12) до 0,01 13) до 0,001
14) 
до 0,001 15) 
до 0,001 16) 
до 0,001
B Найти первые несколько членов разложения в ряд решения задачи Коши:
17) y¢-4y+xy 2 -e 2 x =0; y(0)=2 (4 члена) 18) y¢+ycosx-y 2 sinx=0; y(p)=1 (4 члена)
19) y¢¢=e y cosy¢; y(1)=1; y¢(1)=p/6 (5 членов)
20) y¢¢=xy 2 -1/y¢; y(0)=0, y¢(0)=1 (5 членов)
Ряд Фурье
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (-p;p)
, где
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (-l ;l ) называется тригонометрический ряд вида:
, где
Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l ;l ) функции сходится на всей числовой оси.
Сумма ряда Фурье S (x ):
Является периодической функцией с периодом 2l
На интервале (-l ;l ) совпадает с функцией f (x ), за исключением точек разрыва
В точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f (x ) и на концах интервала принимает средние значения:
Говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на интервале(-l
;l
): 
.
Если f (x ) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b n =0.
Если f (x ) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а n =0
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по косинусам кратных дуг называется ряд:
, где 
.
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по синусам кратных дуг называется ряд:
, где 
.
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.
Примеры .
1. Разложить функцию f (x )=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-p;p);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;p); построить график полученного ряда Фурье
Решение :
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-p;p) имеет вид:
,
причем все коэффициенты b n =0, т.к. данная функция – четная; таким образом,
Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: 
или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;p) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:
Таким образом, для четных n
(n
=2k
) имеем b n
=0, для нечетных (n
=2k
-1) - 
Окончательно, 
.
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:
9 сентября 2007 года пилот Логан Гомес одержал победу в гонке Chicagoland 100 чемпионата IRL Indy Pro Series. Обладателя второго места он опередил на 0,0005 секунды, установив рекорд плотности финиша в мировом автоспорте. Какое оборудование позволяет измерять время с такой точностью?
На волне маяка В современных гонках хронометраж ведется полностью автоматически. На каждый автомобиль устанавливается радиомаячок, излучающий радиоволны на уникальной частоте. Антенны, расположенные в строго определенных местах на треке, улавливают его сигнал и по частоте определяют, какой именно автомобиль проехал мимо. Антенны располагаются по две рядом: засекая время прохождения расстояния от одной антенны до другой, компьютер определяет скорость движения машины. На трассе может располагаться до 20 антенн. Особые антенны служат для контроля скорости на пит-лэйне. Информация с радиоприемников поступает в тайминг-центр, где более 20 инженеров непрерывно следят за работой компьютеров. На всякий случай система хронометража дублируется парой инфракрасных фотоэлементов, установленных на линии финиша
Тим Скоренко
Именно в серии Indyсar требования к хронометражу самые строгие. Никакой другой чемпионат не может похвастаться измерением времени с точностью до десятитысячной доли секунды. Подавляющее количество серий ограничивается 0,001 с, и этого чаще всего хватает с запасом, но бывают и казусы: например, на квалификации Гран-при Европы 1997 года в классе «Формулы-1» аж три пилота умудрились показать время, совпадающее до тысячной доли секунды, — 1.21.072. Поул-позиция в итоге досталась Жаку Вильнёву, который проехал свой быстрый круг раньше других.
В «Формуле-1» точность хронометража заметно изменялась с течением времени. В первом чемпионате 1950 года для полноценного учета финиша пилотов вполне хватало 0,1 с. Не было ни одной гонки, входящей в зачет чемпионата, где разрыв между пилотами был бы меньше секунды. Точность до 0,1 ведет свой отсчет с самого первого Гран-при в истории автогонок — Гран-при Франции 1906 года, где время победителя, Ференца Шиша на «Рено», составило 12 часов 14 минут и 7,4 секунды (не чета коротким и легким сегодняшним заездам, не так ли?). На большинстве же гонок, проведенных до Первой мировой войны, точность и вовсе не превышала 1 с.
В современных гонках хронометраж ведется полностью автоматически. На каждый автомобиль устанавливается радиомаячок, излучающий радиоволны на уникальной частоте. Антенны, расположенные в строго определенных местах на треке, улавливают его сигнал и по частоте определяют, какой именно автомобиль проехал мимо. Антенны располагаются по две рядом: засекая время прохождения расстояния от одной антенны до другой, компьютер определяет скорость движения машины. На трассе может располагаться до 20 антенн. Особые антенны служат для контроля скорости на пит-лэйне. Информация с радиоприемников поступает в тайминг-центр, где более 20 инженеров непрерывно следят за работой компьютеров. На всякий случай система хронометража дублируется парой инфракрасных фотоэлементов, установленных на линии финиша.
В Америке хронометристы были гораздо прогрессивнее. Послевоенные гонки серии AAA (в последствии — CART) требовали чаще всего точности измерения до 0,01. Это было связано в первую очередь с конфигурацией трасс и обилием овалов, где разрывы между гонщиками крайне малы. Невероятная точность хронометража современных IRL обусловлена тем же самым фактором: из семнадцати этапов чемпионата 2010 года на овалах проводится восемь.
Казусы и провалы
Хронометраж автогонок неразрывно связан с ведущими мировыми производителями часов и электроники: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines… Почти все они так или иначе представлены в различных видах спорта как официальные хронометристы. Ошибки и неточности в измерении времени сегодня практически исключены. С 1992 года и по сей день вышеупомянутое Гран-при Европы"97 стало единственным хронометрическим курьезом «Формулы-1», а в IRL даже такие казусы совершенно невозможны.
Сегодня системы тайминга Indycar и NASCAR считаются одними из лучших в мире. Каждая трасса оборудована так, что европейские организаторы могут только позавидовать. Счет идет на 0,0001 секунды (для Indycar), а зрители в прямом эфире в любой момент могут получить информацию о скорости каждой машины на треке, ее времени на круге и любом из секторов круга, разрывы в пелатоне с точностью до сектора и т. д. — в общем, максимальную информацию. В гонках, где половина этапов сезона проходит на овалах, точность тайминга играет огромную роль. Победитель частенько определяется посредством фотофиниша.
Как ни странно, понятие «официальный хронометрист» появилось совсем недавно. Это сегодня компания Tissot «ведет» чемпионат мира по мотогонкам, и никакая другая компания не имеет права вмешиваться. Еще 30 лет назад на каждой отдельной гонке были свои хронометристы, «вооруженные» тем оборудованием, которое могли закупить организаторы.
До Второй мировой практически во всех гоночных сериях и классах хронометраж проводился вручную: у трассы стояли специально обученные люди с секундомерами. Они фиксировали время прохождения круга очередной машиной и записывали данные. Впрочем, были и «прорывы». В 1911-м на первой гонке Indianapolis 500 инженер Чарли Уорнер сконструировал и добился применения первой в истории полуавтоматической системы хронометража. По линии старта-финиша была слабо натянута и чуть приподнята над кирпичным покрытием тонкая проволока. Каждая машина прижимала проволоку к земле, усиливая ее натяжение. К проволоке крепился молоточек-печать, который при натяжении ставил чернильную отметку на медленно ползущей ленте с делениями. Точность измерения достигала 0,01 с! Номера машин напротив каждой точки хронометрист ставил вручную. Система не прижилась по смешной причине: в середине гонки автомобиль гонщика Херба Литтла порвал проволоку. Пока натянули новую (бегая перед несущимися машинами), прошло не менее 20 кругов, в течение которых хронометраж велся приблизительно. Победа в гонке была присуждена Рэю Хэрроуну на Marmon, но другой известный гонщик, Ральф Малфорд, до самой смерти был уверен, что именно он выиграл первую в истории Indy 500.
Расцвет успешного применения полуавтоматических систем приходится на 1930-е. В Indy 500 тогда использовали хронографы Stewart-Warner или огромные Loughborough-Hayes.
В первые годы существования серии NASCAR хронометраж велся просто ужасно. В некоторых гонках на финише сидел человек с бумагой и карандашом и фиксировал: такой-то идет первым, такой-то — вторым. Правда, это касалось только гравийных и грязевых трасс. На автодромах дело обстояло получше. В частности, именно на гонке в Элхарт-Лейк"1951 применили хронограф Streeter-Amet. Прибор последовательно печатал (в десятых долях секунды) на бумажной ленте время каждого проносящегося мимо автомобиля, работа человека состояла в написании номеров машин напротив каждого числа.
Полностью автоматическая система тайминга была впервые использована в гонке чемпионата USAC на трассе Онтарио в 1970 году. Каждый автомобиль был оборудован передатчиком, излучающим волны на своей собственной, уникальной частоте. На линии старта-финиша была установлена антенна, улавливающая частоту колебаний каждого трансмиттера, — остальную работу выполнял компьютер.
Профессиональный хронометрист Дэвид Маккинни, работавший в 1960-х годах на различных гонках в Австралии и Новой Зеландии, дал нам интересную информацию: «Если самый квалифицированный хронометрист с самым лучшим хронометром сумеет точно ‘поймать" десятую долю секунды, то ему просто повезло». Поэтому все ручные измерения, которые когда-либо производились в гонках, можно смело считать приблизительными.
«Формула-1»
В Европе автоматические системы появились намного позже, чем в Америке. В международных сериях вроде «Формулы-1» царили разброд и шатание. Вплоть до конца 1970-х на разных Гран-при хронометражем занимались совершенно разные люди, использовавшие различное оборудование и методы. На свободных заездах роль хронометристов чаще всего выполняли жены гонщиков. Например, Норма Хилл, жена двукратного чемпиона мира Грэма Хилла, ездила с мужем на каждый Гран-при и лично засекала его время на круге, перепроверяя работу маршалов.
В середине 1970-х, устав от постоянной путаницы и ошибок, команда Ferrari начала возить на Гран-при собственное высокоточное оборудование, закупленное в Америке. Один из механиков извечного соперника Ferrari команды Lotus спросил у своего руководителя Колина Чепмена: «Почему мы не поступим так же?» «Вы на самом деле думаете, что от этого наши машины поедут быстрее?» — отвечал Чепмен. Этот ответ очень точно характеризует европейское отношение к точности хронометража в те годы. Впрочем, к концу 1970-х почти все крупные команды заключили договоры с производителями часов и возили с собой собственные тайминговые системы. После одного из заездов журнал Autosport писал: «Команды публикуют в официальных отчетах тайминг такой точности, что официальные цифры организаторов Гран-при выглядят как сделанные с помощью часов Микки-Мауса!»
В связи с ошибками тайминга регулярно возникали замечательные инциденты. Например, во время дождевого Гран-при Канады 1973 года на трассу впервые был выведен сэйфти-кар. Хронометристы были сбиты столку, напутали с круговыми и неправильно сложили время до и после пейс-кара. В итоге победу последовательно праздновали Эмерсон Фиттипальди из Lotus, Джеки Оливер из Shadow и Петер Ревсон из МcLaren. Победа досталась последнему — после нескольких часов препирательств.
Не менее занимательная история случилась на Гран-при Швеции 1975 года. Гонщик March Витторио Брамбилла был далеко не самым быстрым в пелатоне, но именно он завоевал в той гонке поул-позицию. Это произошло оттого, что конструктор March Робин Херд незаметно прошел прямо перед фотоэлементом регистрирующего прибора за полсекунды до того, как Брамбилла пересек финишную черту. Каким-то чудом никто этого не увидел, а прибор зафиксировал время пешего Херда, а вовсе не гонщика.
Торжество технологий
Сегодняшние гонки суть торжество высоких технологий. К примеру, серия NASCAR чуть ли не последней переходила на современные методы хронометража, максимально придерживаясь традиций. Но сегодня системы тайминга NASCAR считаются одними из лучших в мире. Компания Tissot, официальный хронометрист заокеанской серии в течение последних четырех лет, оборудовала каждую трассу так, что европейские организаторы могут только позавидовать. В гонках, где из 36 этапов сезона 34 проходят на овалах, точность тайминга играет огромную роль.
Не менее серьезные системы используются и в чемпионате мира по мотогонкам (его хронометристом также является компания Tissot). В отличие от NASCAR, тут не требуется сложных систем наблюдения, чтобы определить, кто же впереди: мотоциклисты идут не таким плотным пелатоном. Но поскольку трассы MotoGP традиционной европейской конфигурации, а не овалы, сложностей тоже хватает. Установка отсечек времени на определенных местах трассы требует тщательного продумывания (овалы попросту геометрически делятся на 4−8 частей).
Сегодняшние компьютерные технологии практически исключают возможность ошибки хронометража в авто- или мотогонках. Организаторы Гран-при давно нашли себе на голову совершенно другие проблемы — безопасности, экологии и т. д. А фиксаторы времени работают себе и работают. Можно сказать, как часы.
Пусть требуется найти У 2,35104 с точностью до (с недостатком). Расположим вычисления так:
Мы сначала находим приближённый корень с точностью до 1 только из целого числа 2. Получим 1 (и в остатке 1). Пишем в корне цифру 1 и ставим после неё запятую. Теперь находим цифру десятых. Для этого приписываем к остатку 1 цифры 3 и 5, стоящие направо от запятой, и продолжаем извлечение так, как будто мы извлекали корень из целого числа 235. Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых. Остальные цифры подкоренного числа (104) нам не нужны. Что полученное число 1,5 будет действительно приближённым корнем С точностью до видно наследующего; если бы
мы находили наибольший целый корень из 235 с точностью до 1, то получили бы 15, значит,
Разделив каждое из этих чисел на 100, получим;
в, наконец,
Пусть требуется найти с точностью до приближённый с недостатком. Найдём целое число, потом - цифру десятых, затем и цифру сотых. Корень из целого числа будет 15 целых. Чтобы получить цифру десятых, надо, как мы видели, приписать к остатку 23 еще две цифры, стоящие направо от запятой:
В нашем примере этих цифр нет вовсе; ставим на их место нули. Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто находим корень из целого числа 24 800, мы найдём цифру десятых 7. Остаётся найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку 151 ещё два нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим корень из целого числа 2 480000. Получаем 15,74. Что это число действительно есть приближённый корень из 248 с точностью до с недостатком, видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый квадратный корень из целого числа 2 480 000, то получили бы 1574, значит,
Разделив каждое из этих чисел на 10 000 (100^2), получим:
Значит, 15,74 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближённым корнем с недостатком с точностью до из 248.
Правило. Чтобы извлечь из данного целого числа или из данной десятичной дроби приближенный корень с недостатком с точностью до до до и т. д., находят сначала приближенный корень с недостатком с точностью до 1, извлекая корень из целого числа (если его нет, пишут в корне 0 целых).
Потом находят цифру десятых. Для этого к остатку приписывают две цифры подкоренного числа, стоящие направо от запятой (если их нет, приписывают к остатку два нуля), и продолжают извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых.
Затем находят цифру сотых. Для этого к остатку приписывают снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были только что снесены, и т. д.
Таким образом, при извлечении корня из целого числа с десятичной дробью число надо делить на грани по две цифры в каждой, начиная от запятой, как влево (в целой части числа), так и вправо (в дробной части).
1. Извлечь с точностью до корни:
2. Извлечь с точностью до
В последнем примере мы обратили дробь у в десятичную, вычислив восемь десятичных знаков, чтобы образовались четыре грани, потребные для нахождения четырёх десятичных знаков корня.
