Привет, хабралюди!

Сегодня я бы хотел затронуть такую тему как «задачи тысячелетия», которые вот уже десятки, а некоторые и сотни лет волнуют лучшие умы нашей планеты.

После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах? » Пользуясь возможностью, попробую объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.

Равенство классов P и NP

Все мы помним из школы квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P (P olynomial time) - для нее существует быстрый (здесь и далее под словом «быстрый» подразумевается как выполняющийся за полиномиальное время) алгоритм решения, который и заучивается.

Также существуют NP -задачи (N on-deterministic P olynomial time) , найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. Из этого напрашивается логичный вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.

Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.

На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.

В данном случае вопрос стоит все тот же, есть ли такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится.

Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

Гипотеза Ходжа

В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных геометрических объектов. Очевидно, что чем сложнее объект тем более трудоемким становится его изучение. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основная идея которого заключается в том, чтобы вместо самого изучаемого объекта использовать простые «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта.

Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.

Гипотеза Римана

Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2,3,5,7,11...) . С давних времен люди пытаются найти закономерность в их размещении, но удача до сих пор так никому и не улыбнулась. В результате ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например для 4 - 2 простых числа, для 10 - уже 4 числа. Гипотеза Римана как раз устанавливает свойства данной функции распределения.

Многие утверждения о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.

Теория Янга - Миллса

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Одно время теория Янга-Миллса рассматривалась лишь как математический изыск, не имеющий отношения к реальности. Однако, позже теория начала получать экспериментальные подтверждения, но в общем виде она все еще остается не решенной.

На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.

Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса

Течение жидкостей, воздушные потоки, турбулентность. Эти, а также множество других явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса . Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.

Гипотеза Бёрча - Свиннертон-Дайера

Для уравнения x 2 + y 2 = z 2 в свое время еще Эвклид дал полное описание решений, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным, достаточно вспомнить историю доказательства знаменитой теоремы Ферма, чтобы убедиться в этом.

Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени - так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.

В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.

Гипотеза Пуанкаре

Думаю если не все, то большинство точно о ней слышали. Чаще всего встречается, в том числе и на центральных СМИ, такая расшифровка как «резиновую ленту натянутую на сферу можно плавно стянуть в точку, а натянутую на бублик - нельзя ». На самом деле эта формулировка справедлива для гипотезы Тёрстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре, и которую в действительности и доказал Перельман.

Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же как вселенная подобна сфере, подобен обычной кофейной кружке.

Заключение

В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеющими странный вид и говорящие о не менее странных вещах. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика ненужная наука, что после школы/института, она нигде не пригодилась в жизни.

Но на самом деле это не так - математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.

5 декабря 2014 в 18:54

Задачи тысячелетия. Просто о сложном

• Занимательные задачки ,
• Математика

Привет, хабралюди!

Сегодня я бы хотел затронуть такую тему как «задачи тысячелетия», которые вот уже десятки, а некоторые и сотни лет волнуют лучшие умы нашей планеты.

После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах? » Пользуясь возможностью, попробую объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.

Равенство классов P и NP

Все мы помним из школы квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P (P olynomial time) - для нее существует быстрый (здесь и далее под словом «быстрый» подразумевается как выполняющийся за полиномиальное время) алгоритм решения, который и заучивается.

Также существуют NP -задачи (N on-deterministic P olynomial time) , найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. Из этого напрашивается логичный вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.

Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.

На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.

В данном случае вопрос стоит все тот же, есть ли такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится.

Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

Гипотеза Ходжа

В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных геометрических объектов. Очевидно, что чем сложнее объект тем более трудоемким становится его изучение. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основная идея которого заключается в том, чтобы вместо самого изучаемого объекта использовать простые «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта.

Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.

Гипотеза Римана

Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2,3,5,7,11...) . С давних времен люди пытаются найти закономерность в их размещении, но удача до сих пор так никому и не улыбнулась. В результате ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например для 4 - 2 простых числа, для 10 - уже 4 числа. Гипотеза Римана как раз устанавливает свойства данной функции распределения.

Многие утверждения о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.

Теория Янга - Миллса

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Одно время теория Янга-Миллса рассматривалась лишь как математический изыск, не имеющий отношения к реальности. Однако, позже теория начала получать экспериментальные подтверждения, но в общем виде она все еще остается не решенной.

На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.

Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса

Течение жидкостей, воздушные потоки, турбулентность. Эти, а также множество других явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса . Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.

Гипотеза Бёрча - Свиннертон-Дайера

Для уравнения x 2 + y 2 = z 2 в свое время еще Эвклид дал полное описание решений, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным, достаточно вспомнить историю доказательства знаменитой теоремы Ферма, чтобы убедиться в этом.

Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени - так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.

В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.

Гипотеза Пуанкаре

Думаю если не все, то большинство точно о ней слышали. Чаще всего встречается, в том числе и на центральных СМИ, такая расшифровка как «резиновую ленту натянутую на сферу можно плавно стянуть в точку, а натянутую на бублик - нельзя ». На самом деле эта формулировка справедлива для гипотезы Тёрстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре, и которую в действительности и доказал Перельман.

Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же как вселенная подобна сфере, подобен обычной кофейной кружке.

Заключение

В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеющими странный вид и говорящие о не менее странных вещах. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика ненужная наука, что после школы/института, она нигде не пригодилась в жизни.

Но на самом деле это не так - математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.

разработчик 80-го уровня 18 января 2018 в 13:05

Доказательство Гипотезы Римана

• Математика

Гипотеза Римана это математическая гипотеза, выведенная в 1859 году Бернхардом Риманом. И которая до сих пор не была решена.

Гипотеза Римана звучит так:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть равную 1/2.

Мне удалось доказать это утверждение. Мои выводы основываются на резултате фон Коха 1901 года.

Если Гипотеза Римана верна, то

π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x)

Гипотеза Римана имеет большое значение в квантовой механике, а также в криптографии.

Формула π(x) и Li(x)

В данном разделе я представлю две формулы с помощью которых я доказал Гипотезу Римана. Это новая формула функции π(x) и новый метод интегрирования функции 1/ln(x).

Функция π(x) показывает сколько в данном числе x простых чисел. Простые числа - это числа, которые делятся только на себя и на единицу. Например: 2 3 5 7…

Формула функции π(x).:

(1.1)
Доказательство:

Эта формула исключает из данного числа x все не простые числа, по правилам решета Эратосфена. Решето Эретосфена это метод, придуманный Эратосфеном Киренским для определения последовательности простых чисел. Алгоритм таков, если взять ряд из натуральных чисел без единицы

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18…

И исключить из него все четные числа, кроме самой маленькой из них, т.е. двойки, получится:

2 3 5 7 9 11 13 15 17…

А потом из этой получившейся последовательности исключить все числа которые делятся на следующее простое число после двойки, это число 3, не считая ее самой. Получится:

2 3 5 7 11 13 17…

Если так делать до бесконечности, то останутся только простые числа. Моя формула работает по такому принципу. Сначала формула исключает единицу из данного числа x, а потом количество всех четных чисел, кроме 2. Далее количество чисел, которые делятся на 3, кроме тройки, а из данного количества исключаются четные числа, которые которые делятся на 3 и т.д.
fn(x) обозначает самое минимальное число, которое надо исключить из x, чтобы получилось то число которое делится на n без остатка.

График функции fn(x):

Рис.(1.1) График функции fn(x)

Область определения функции

Область значения

Каждое выражение в скобках содержит количество определенных не простых чисел не превосходящих x.

Рано или позно определенное выражение в скобках формулы π(x) будет равна нулю (1.1). Поэтому данная сумма не бесконечна.

Я не могу доказать математически формулу (1.1), но можно понять, что формула верна, исходя из того что ее функция напоминает решето Эретосфена. Можно сказать, что эта формула-аналитический вариант решета Эретосфена.

Формула функции Li(x):

(1.2)
Доказательство:

Все члены этой суммы это площадь прямоугольника под графиком функции 1/ln(x), бесконечное количество площадей прямоугольников сходятся к площади под графиком функции 1/ln(x), начиная с аргумента 2. А так как функция Li(x) это интеграл графика функции 1/ln(x), то формула (1.2) равна Li(x).

Рис.(1.2) Прямоугольники под графиком функции 1/ln(x)

Верхний правый угол всех прямоугольников лежат на определенной точке графика, а так как прямоугольников бесконечно много, то углы прямоугольников охватывают все точки графика от 1/ln(2) до 1/ln(x).

Доказательство

Итак, если Гипотеза Римана верна то

π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x)

А если переделать это выражение то получится, что

То есть, если доказать это неравенство то получится что Гипотеза Римана верна.
Подставив подставив выведенные формулы в неравенство получим:

(1.3) Остаточный член

При условии что x>2.Преобразуем это выражение, для упрощения.

Из этого можно сделать вывод что, если неравенство

(1.5)

Верное, то и Гипотеза Римана верна. Проверем это. Если перенести все члены неравенства (1.5) в правую часть неравенства, то получится

(1.6)

Первая разность этого выражения, при x>2, всегда отрицательна. А вторая разность отрицательна приблизительно лишь при x>10, но это не страшно, так как нас интересуют только большие аргументы, выражение (1.6) все равно будет верное.

Неравенство (1.6) верное, значит и неравенство

Тоже верное.

Гипотеза Римана доказана.

Теги: Задачи тысячелетия, простые числа

Я хотел более подробно рассказать о вроде бы доказанной недавно гипотезе Анри Пуанкаре, но потом решил «расширить задачу» и в сжатом виде рассказать «обо всём» . Итак, математический институт Клея в Бостоне в 2000 году определил «семь задач тысячелетия» и назначил премии в миллион долларов за решение каждой из них. Вот они:

1. Гипотеза Пуанкаре
2. Гипотеза Римана
3. Уравнение Навье-Стокса
4. Гипотеза Кука
5. Гипотеза Ходжа
6. Теория Янга-Миллиса
7. Гипотеза Берча-Свиннертона-Дайера

Про гипотезу Пуанкаре мы поговорим в следующий раз, сейчас в общих чертах расскажем о других проблемах

Гипотеза Римана (1859 г.)

Все знают что такое простые числа — это числа делящиеся на 1 и на самих себя. Т.е. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д. Но что интересно, обозначить какую-либо закономерность в их размещении пока что оказывалось невозможным.
Так, считается, что в окрестности целого числа х среднее расстояние между последовательными простыми числами пропорционально логарифму х. Тем не менее, уже давно известны так называемые парные простые числа (простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2, например 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например 101, 103, 107, 109 и 113. Если такие скопления будут найдены и в области очень больших простых чисел, то стойкость криптографических ключей, используемых в настоящее время, может в одночасье оказаться под очень большим вопросом.
Риман предложил свой вариант, удобный для выявления больших простых чисел. Согласно ему, характер распределения простых чисел может существенно отличаться от предполагаемого в настоящее время. Риман обнаружил, что число P(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана Z(s). Риман высказал гипотезу, не доказанную и не опровергнутую до сих пор, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой линии R(z) = (1/2). (Извините, но я не знаю как изменить кодировку чтоб показывались греческие буквы).
В общем, доказав гипотезу Римана (если это вообще возможно) и подобрав соответствующий алгоритм, можно будет поломать многие пароли и секретные коды.

Уравнение Навье-Стокса. (1830 г.)

Нелинейный дифур описывающий тепловую конвекцию жидкостей и воздушных потоков. Является одним из ключевых уравнений в метеорологии.

p — давление
F – внешняя сила
r (ро) — плотность
n (ню)- вязкость
v — комплексная скорость

Наверное, его точное аналитическое решение интересно с чисто математической точки зрения, но приближенные методы решения давно существуют. Как обычно в таких случаях, нелинейный дифур разбивают на несколько линейных, другое дело что решения системы линейных дифуров оказалось необычайно чувствительным к начальным условиям. Это стало очевидно когда с введением компьютеров стало возможно обрабатывать большие массивы данных. Так в 1963 году американский метеоролог из Массачусетского технологического института Эдвард Лоренц задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов – достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, состоящую из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую конвекцию воздуха, просчитал ее на компьютере и получил поразительный результат. Этот результат – динамический хаос – есть сложное непериодическое движение, имеющее конечный горизонт прогноза, в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым). Так был открыт странный аттрактор. Пpичина непpедсказуемости поведения этой и дpугих подобных систем заключается в не в том, что не веpна математическая теоpема о существовании и единственности pешения пpи заданных начальных условиях, а именно в необычайной чувствительности pешения к этим начальным условиям. Близкие начальные условия со вpеменем пpиводят к совеpшенно pазличному конечному состоянию системы. Пpичем часто pазличие наpастает со вpеменем экспоненциально, то есть чpезвычайно быстpо.

Гипотеза Кука (1971 г.)

Насколько быстро можно проверить конкретный ответ – вот нерешенная проблемой логики и компьютерных вычислений! Она была сформулирована Стивеном Куком следующим образом: «может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки?». Ршение этой проблемы могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных и продвинуть разработку алгоритма т.н. «квантовых компьютеров» что опять-таки поможет в ускорении алгоритма решения задач связанных с перебором кодов (например, тот же взлом паролей).
Пусть задана функция от 10000 переменных: f (х 1 …х 10000 ), для простоты примем что переменные могут принимать значения 0 или 1, результат функции тоже 0 или 1. Существует алгоритм, вычисляющий эту функцию для любого заданного набора аргументов за достаточно малое время (допустим, за t=0,1 сек).
Требуется узнать, существует ли набор аргументов, на котором значение функции равно 1. При этом сам набор аргументов, на котором функция равна 1, нас не интересует. Нам просто надо знать есть он или нет. Что мы можем сделать? Самое простое – взять и тупо перебрать всю последовательность от 1 до 10000 во всех комбинациях вычисляя значение функции на разных наборах. В самом неблагоприятном случае мы на это потратим 2 tN или 2 1000 секунд что во много раз больше возраста Вселенной.
Но если мы знаем природу функции f, то
можно сократить перебор, отбросив наборы аргументов, на которых функция заведомо равна 0. Для многих реальных задач это позволят решить их за приемлемое время. В то же время есть задачи (так называемые NP-полные задачи), для которых даже после сокращения перебора, общее время решения остается неприемлемым.

Теперь, что касается физической стороны. Известно, что квант
может находиться в состоянии 0 или 1 с какой-то вероятностью. И что интересно, можно узнать, в каком из состояний она находится:

A: 0 с вероятностью 1
В: 1 с вероятностью 1
С: 0 с вероятностью р, 1 с вероятностью 1-р

Суть вычислений на квантовом компьютере состоит в том, чтобы взять 1000 квантов в состоянии С и подать их на вход функции f. Если на выходе будет получен квант в состоянии А, это значит, что на всех возможных наборах f=0. Ну а если на выходе будет получен квант в состоянии
B или С, это значит, что существует набор, на котором f=1.
Очевидно. что «квантовый компьютер» значительно ускорит задачи связанные с перебором данных, но будет малоэффективен в плане ускорения записи или считывания данных.

Теория Янга-Миллса

Вот это, наверное, единственный из обозначенных семи вопросов имеющих по-настоящему фундаментальное значение. Решение его существенно продвинет создание «единой теории поля», т.е. выявлению детерминированной связи между четырьмя известными типами взаимодействий

1. Гравитационным
2. Электромагнитным
3. Сильным
4. Слабым

В 1954 году Янг Чжэньнин (представитель желтой корневой расы) и Роберт Миллс предложили теорию, в соответствии с которой были объединены электромагнитное и слабое взаимодействие (Глэшоу, Вайнберг, Салам — Ноб. Премия 1979). Более того, она до сих пор служит основой квантовой теории поля. Но здесь уже начал давать сбой математический аппарат. Дело в том, что «квантовые частицы» ведут себя совсем не так как «большие тела» в ньютоновской физике. И хотя есть общие моменты, например, заряженная частица создает электромагнитное поле, а частица с ненулевой массой — гравитационное; или, например, частица эквивалентна совокупности полей, которые она создает, ведь любое взаимодействие с другими частицами производится посредством этих полей; с точки зрения физики, рассматривать поля, порожденные частицей, — то же, что рассматривать саму частицу.
Но это так сказать «в первом приближении».
При квантовом подходе одну и ту же частицу можно описывать двумя разными способами: как частицу с некоторой массой и как волну с некоторой длиной. Единая частица-волна описывается не своим положением в пространстве, а волновой функцией (обычно обозначаемой как Y), и ее местонахождение имеет вероятностную природу — вероятность обнаружить частицу в данной точке x в данное время t равна Y = P(x,t)^2. Казалось бы ничего необычного, но на уровне микрочастиц возникает следующий «неприятный» эффект — если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке, классический принцип суперпозиции не работает. Так получается потому, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля. Из-за этого уравнения становятся нелинейными и весь арсенал математических приёмов для решения линейных уравнений к ним применить нельзя. Поиск решений и даже доказательство их существования становятся несравнимо более сложной задачей.
Вот почему решить ее «в лоб», наверное, невозможно, во всяком случае, теоретики выбрали другой путь. Так, опираясь на выводы Янга и Миллза Мюррей Гелл-Манн построил теорию сильного взаимодействия (Ноб. премия).
Главная «фишка» теории – введение частиц с дробным электрическим зарядом – кварков.

Но чтобы математически «привязать» к друг другу электромагнитное, сильное и слабое взаимодействие, нужно чтобы выполнились три условия:

1. Наличие «щели» в спектре масс, по английский — mass gap
2. Кварковый конфайнмент: кварки заперты внутри адронов и принципиально не могут быть получены в свободном виде
3. Нарушения симметрии

Эксперименты показали, что эти условия в реале выполняются, но строгого математического доказательства – нет. Т.е. по сути, нужно теорию Я-М адаптировать к 4-мерному пространству обладающими тремя означенными свойствами. По мне, так это задача тянет куда больше чем на миллион. И хотя в существовании кварков ни один приличный физик не сомневается, эксперементально их обнаружть не удалось. Предполагается что на на масштабе 10 -30 между электромагнитным, сильным и слабым взаимодействием утрачивается какое-либо различие (т.н. «Великое Объединение»), другое дело что нужная для таких экспериментов энергия (более 10 16 ГэВ) не может быть получена на ускорителях. Но вы не волнуйтесь — проверка Великого Объединения — дело ближайших лет, если, конечно, на человечество не свалятся какие-нибудь избыточные проблемы. Физики уже разработали проверочный эксперимент связанный с нестабильностью протона (следствие теории Я-М). Но эта тема выходит за рамки нашего сообщения.

Ну и будем помнить, что это еще не всё. Остается последний бастион – гравитация. О ней мы реально ничего не знаем, кроме того, что «все притягивается» и «искривляется пространство-время». Понятно, что все силы в мире сводятся к одной суперсиле или, как говорят, «Суперобъединению». Но какой принцип суперобъединения? Алик Эйнштейн считал что этот принцип геометрический, как и принцип ОТО. Вполне может быть. Т.е. физика на самом начальном уровне — всего лишь геометрия.

Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера

Помните Большую Теорему Ферма, вроде бы доказанную каким-то инглизом в 1994 году? 350 лет на это потребовалось! Так вот теперь проблема получила продолжение — нужно описать все решения в целых числах
x, y, z алгебраических уравнений, то есть уравнений от нескольких переменных
с целыми коэффициентами. Примером алгебраического уравнения является уравнение
x 2 + y 2 = z 2 . Евклид дал полное описание
решений этого уравнения, но для более сложных уравнений получение решения
становится чрезвычайно трудным (например, доказательство отсутствия целых
решений уравнения x n + y n = z n).
Берч и Свиннертон-Дайер предположили, что число решений определяется значением связанной с уравнением дзета-функци ζ(s) в точке 1: если значение дзета-функции ζ(s) в точке 1 равно 0, то имеется бесконечное число решений, и наоборот, если не равно 0, то имеется только конечное число таких решений. Здесь задача, кстати, перекликается с гипотезой Римана, только там исследовалось распределение нетривиальных нулей дзета-функции ζ(s)

Гипотеза Ходжа
Наверное самая абстрактная тема.
Как известно, для описания свойств сложных геометрических объектов их свойства аппроксимируются. Ну например шар (хотя он совсем несложный) можно представить как поверхность состоящую из маленьких квадратиков. Но если имеются поверхности более сложные, то возникает вопрос, до какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности? Этот метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов встречающихся в математике, но в некоторых случаях было необходимо прибавлять части, которые не имели никакого геометрического истолкования.
Я просмотрел на эту тему заумную книжку Гельфанда-Манина, там описывается теория Ходжа для гладких некомпактных образований, но честно говоря мало что понял, я вообще аналитическую геометрию как то не очень понимаю. Там смысл в том, что интегралы по некоторым циклам можно вычислить через вычеты, а это современные компы хорошо умеют.
Сама гипотеза Ходжа состоит в том, что для некоторых типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, т.н. циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.

Математические физики заявили о продвижении в работе над 150-летней теоремой, за доказательство которой Математический институт Клэя предлагает награду в миллион долларов. Ученые представили оператор, который удовлетворяет гипотезе Гильберта-Пойя, гласящей, что существует дифференциальный оператор, чьи собственные значения в точности соответствуют нетривиальным нулям дзета-функции Римана. Статья опубликована в журнале Physical Review Letters.

Гипотеза Римана - одна из «задач тысячелетия», за доказательство которых американский Математический институт Клэя выдает премии в миллион долларов. Гипотеза Пуанкаре (теорема Пуанкаре-Перельмана), которую доказал наш соотечественник , входила именно в этот список. Гипотеза Римана, сформулированная в 1859 году, гласит, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана (то есть значения комплекснозначного аргумента, обращающие функцию в нуль) лежат на прямой ½ + it, то есть их вещественная часть равна ½. Сама дзета-функция возникает во многих разделах математики, например, в теории чисел она связана с количеством простых чисел, меньших заданного.

Теория функций предсказывает, что множество нетривиальных нулей дзета-функции должно быть похоже на множество собственных значений («решений» для матричных уравнений) некоторой другой функции из класса дифференциальных операторов, которые часто используются в физике. Идея о существовании конкретного оператора с такими свойствами получила название гипотезы Гильберта-Пойя, хотя ни тот, ни другой не публиковали работ на эту тему. «Так как публикаций "авторов" на эту тему нет, то формулировка гипотезы меняется в зависимости от интерпретации, - поясняет один из авторов статьи Дорже Броди из лондонского Университета Брунеля. - Однако два пункта должны быть выполнены: а) необходимо найти оператор, чьи собственные значения соответствуют нетривиальным нулям дзета-функции, и б) определить, что собственные значения являются действительными числами. Основной целью нашей работы был пункт а). Для доказательства части б) необходима дальнейшая работа».

Еще одной важной гипотезой в этой области является идея Берри и Китинга, что в случае существования искомого оператора, он будет теоретически соответствовать некоторой квантовой системе с определенными свойствами. «Мы определили условия квантования гамильтониана Берри-Китинга, таким образом, доказывая гипотезу их имени, - добавляет Броди. - Возможно, это разочарует, но полученный гамильтониан, кажется, не соответствует никакой физической системе очевидным образом; по крайней мере, мы не нашли такого соответствия».

Наибольшую сложность представляет доказательство действительности собственных значений. Авторы оптимистично настроены по этому поводу, в статье присутствует подкрепляющий аргумент, основанный на PT-симметрии. Эта идея из физики частиц означает, что при замене всех направлений четырехмерного пространства-времени на обратные, система будет выглядеть так же. Природа в общем случае не PT-симметрична, однако, полученный оператор обладает этим свойством. Как показано в статье, если доказать нарушение этой симметрии для мнимой части оператора, то все собственные значения будут вещественными, таким образом завершая доказательство гипотезы Римана.