Единицы измерения диффузии. Большая энциклопедия нефти и газа

Инженерные системы 20.09.2019

Инженерные системы

Лабораторная работа №7

ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ ГАЗА

Диффузией называется явление проникновения двух или нескольких соприкасающихся веществ друг в друга. Процесс диффузии возникает в газе (так же, как и в любом другом веществе), если газ неоднороден по составу, т.е. если он состоит из двух или нескольких различных компонентов, концентрация которых изменяется от точки к точке. Процесс диффузии заключается в том, что каждый из компонентов смеси переходит из тех частей объема газа, где его концентрация больше, туда, где она меньше, т.е. в направлении уменьшения концентрации.

Всякий процесс, при котором параметры системы, участвующей в нем, с течением времени изменяются, называется нестационарным процессом, в отличие отстационарного процесса, при котором величины, характеризующие систему, не изменяются со временем. Диффузия, приводящая к выравниванию концентрации, т.е. к изменению разностей концентраций и самих концентраций компонентов, называется нестационарной диффузией. Можно себе представить и стационарную диффузию, когда тем или иным искусственным путем разность концентраций смеси поддерживается неизменной. Для этого нужно, например, в одну часть сосуда непрерывно добавлять данный компонент, а из другой части сосуда отбирать его в таком же количестве.

Целью настоящей работы является ознакомление с явлением диффузии газов, измерение коэффициента диффузии паров этилового спирта в воздухе при атмосферном давлении, а также ознакомление с экспериментальной методикой измерения коэффициента диффузии паров жидкостей.

1. Основы метода измерения коэффициента диффузии паров жидкостей

Согласно основному закону диффузии (закону Фика) плотность диффузионного потока какого-либо компонента (сорта молекул) пропорциональна градиенту концентрации этого компонента, взятому с обратным знаком:

Ix = − Ddn .

Смысл коэффициента диффузии D состоит в том, что он численно равен плотности диффузионного потока, т.е. количеству диффундирующего компонента, проходящего в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению диффузии, при градиенте концентрации, равном единице. Для модели идеального газа коэффициент диффузии равен

π mkT

3 πnm πσ2

При фиксированной температуре v

является постоянной, а

Следовательно,

при постоянной температуре D ~ P 1 . С другой стороны, при фиксированном давлении

l ~ T , а v ~T . Следовательно, при постоянном давлении D ~ T3 / 2 . Эти заключения были тщательно проверены в экспериментах. СоотношениеDP = const соблюдается в довольно широком интервале давлений для не очень плотных газов с точностью до нескольких процентов. В зависимости от температурыD растет несколько быстрее, чем

T3 / 2 , что объясняется дополнительным уменьшениемσ с увеличениемT , приводящим к дополнительному увеличению l .

Коэффициент диффузии для многих газов в воздухе при нормальных условиях имеет

порядок D ~ 10 -5 м 2 /с , как это следует из (1.2), если учесть, что для них l ~ 10− 8 м,v ~ 500 м/с.

Если плотность потока диффундирующего компонента выражать его массой кг , протекающей через1 м 2 площади в единицу временис , то парциальная концентрация компонента в этом случае будет представлять собой парциальную плотность компонентаρ = nm . Уравнение (1.1) в этом случае примет вид

I x = −D


При стационарной диффузии градиент концентраций			остается постоянным

(неизменным во времени), поэтому постоянен и диффузионный поток. При нестационарной диффузии градиент концентраций изменяется (концентрации выравниваются). Соответственно этому изменяется со временем и диффузионный поток.

Пусть в сосуде с газом (воздухом) находится капля жидкости радиусом R , плотность паров этой жидкости вдали от капли (на бесконечности) -ρ′ ∞ ′ , на поверхности капли -ρ′ 0 ′ ,

причем ρ′ 0 ′ > ρ′ ∞ ′ (капля испаряется). Тогда убыль массы капли (M ) в единицу времени в соответствии с (1.3) может быть представлена в сферической системе координат в виде

	− dM = −D			d ρ′′	4π r2 .
	− dM = −D				4π r2 .

После интегрирования этого выражения получим
− dM =4 πDR(ρ′0 ′					−ρ′∞ ′) .

Если ρ ′′ = 0 , что может быть достигнуто применением поглотителя паров вдали от

капли, то (1.5) можно привести к виду
		4 π DR ρ ′′.
		4 π DR ρ ′′.


Из уравнения состояния идеального газа			P0 μ
		ρ′0 ′ =	P0 μ
		ρ′0 ′ =

где P 0 - давление паров жидкости на поверхности капли (давление насыщенного пара при температуреT 0 );T 0 - температура поверхности капли;μ - молярная масса жидкости;R 0 -

универсальная газовая постоянная.

Подставляя значение ρ 0 ′′

из (1.7) в (1.6), получим

D = −

R0 T0

4 πμP

π R3 ρ , гдеρ - плотность жидкости, поэтому

4 π R 2 ρ

T ρ dR

D = −

2 Pμ

Учтем, что

4 πρ

3 2 / 3

T ρ 1/ 3d (M ) 2/ 3

D = −

Это и есть основное выражение для определения коэффициента диффузии в данной работе.

2. Описание экспериментальной установки

В данной работе использован относительный весовой метод измерения массы испаряющейся капли жидкости (см. рисунок).

Принципиальная схема экспериментальной установки:

1 - капля; 2 - подвес; 3 - пружина; 4 - стеклянный колпак; 5 - конденсатор; 6 - коромысло; 7 - стойка; 8 - поглотитель паров жидкости; 9 - тарелка; 10 - задающий LC-генератор; 11 - частотомер

Суть относительного весового метода, применяемого к настоящей работе, следующая. Капля 1 помещается шприцем на подвес 2, который крепится к плечу коромысла 6, припаянного в средней части к пружине 3, изготовленной из упругого материала (фосфористая бронза). Второе плечо коромысла заканчивается круглой пластинкой, служащей обкладкой конденсатора 5.

При изменении массы капли изменяется зазор между обкладками конденсатора. Это вызывает изменение емкости, которая, как известно, зависит от величины зазора. Конденсатор является составной частью задающего частоту LC - генератора 10, поэтому изменение его емкости влияет на генерируемую частоту. Это изменение частоты регистрируется частотомером. При этом множитель dM3/2 /dt в (1.10) будет пропорционален изменению генерируемой частоты: dM3/2 /dt df/dt.

Весы крепятся на стойке 7 и вся система помещается под стеклянный колпак 4 на тарелке 9. Для поддержания постоянного градиента концентрации при испарении капли служит поглотитель паров жидкости (силикагель) 8.

3. Методика проведения эксперимента

П о д г о т о в к а к о п ы т у

Ознакомиться с описанием и лабораторной установкой. Включить частотомер, дать ему прогреться в течение 15-20 мин.

Внимание! Питание частотомера осуществляется напряжением 220 В, соблюдайте осторожность при работе!

З а д а н и е

В настоящей работе необходимо измерить величину коэффициента диффузии паров этилового спирта (C2 H5 OH) в воздухе.

1. Аккуратно, не задевая весов, снять стеклянный колпак с тарелки. Навешать шприцем каплю этилового спирта, не дотрагиваясь иглой до подвеса. При навешивании

капли подставлять на тарелку под навес кювету для случайно оборвавшихся при навешивании капель.

2. Убрать кювету. Поставить колпак на тарелку.

3. В "ручном" режиме работы частотомера (так удобнее) снять зависимость изменения частоты f от времениt , т.е.f=f(t) . Измерения проводить через 20 с, контролируя время секундомером. Построить график зависимостиf=f(t) .

4. Смочить водой помещенный рядом со стойкой влажный термометр и по

установившимся показаниям определить температуру T 0. Пользуясь справочным материалом, прилагаемым к работе, найти значенияP 0 иρ .

ρ 1/ 3

D = −

Скорость изменения частоты

(находится из

обработки

экспериментальной

зависимости f=f(t) методом наименьших квадратов;S - чувствительность весов (указана на экспериментальной установке).

6. Весь экспериментальный материал лучше представить в виде таблицы.

4. Контрольные вопросы

1. В чем состоит сущность явления диффузии в газах, твердых телах, жидкостях?

2. Дайте определение стационарным и нестационарным процессам диффузии.

3. В чем состоит физический смысл коэффициента диффузии? Может ли коэффициент диффузии быть отрицательной величиной?

4. Как зависит коэффициент диффузии газов от давления и температуры? Подумайте, как лучше всего с физической точки зрения организовать диффузионный процесс?

5. При испарении капли происходит понижение ее температуры. Почему? Что будет происходить при конденсации пара в капле?

Список литературы

1. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. М.: Наука, 1976.

2. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М.: Высш. шк. 1981.

3. Варгафтик Н.Б . Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДИФФУЗИИ ПРИМЕСИ В ПОЛУПРОВОДНИК

Цель работы: изучение моделей процесса диффузии примесей в полупроводник для различных технологических условий.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПОДГОТОВКЕ К РАБОТЕ

Содержание работы: уяснить поставленную задачу, ознакомиться с законами диффузии - уравнениями Фика и решениями уравнения диффузии для различных частных случаев, которые широко используются при проведении процессов диффузии на практике.Ознакомиться с методикой работы с программой на ЭВМ, выполняющей расчет параметров процесса диффузии и графическое построение профиля диффузианта.

1.1. Основные сведения из теории

Диффузия представляет собой обусловленное тепловым движением перемещение атомов вещества в направлении убывания их концентрации.

Основой математического описания процессов диффузии являются два дифференциальных уравнения Фика. Первое уравнение (первый закон Фика) записывается следующим образом:

(3.1)

где J - плотность потока диффундирующего вещества, т.е. количество вещества, проходящего за единицу времени через единичную площадь поверхности, перпендикулярной направлению переноса вещества;

N - концентрация атомов примеси;

D - коэффициент диффузии.

Скорость переноса пропорциональна градиенту концентрации, а в качестве коэффициента пропорциональности вводится коэффициент диффузии. Знак минус в правой части (3.1) указывает на то, что диффузия происходит в направлении убывания концентрации. Другими словами, диффузия идет благодаря стремлению системы достичь физико-химического равновесия. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока химические потенциалы компонентов всей системы не станут равными.

В макроскопическом представлении коэффициент диффузии определяет плотность потока вещества при единичном градиенте концентрации и является, таким образом, мерой скорости выравнивания градиента концентрации. Размерность коэффициента диффузии - м 2 /с (на практике чаще пользуются размерностью см 2 /с). В общем случае диффузия анизотропна и коэффициент диффузии зависит от кристаллографического направления.

Коэффициент диффузии при температуре диффузии определяют, используя известное выражение в форме уравнения Аррениуса

где предэкспоненциальный множитель D 0 (постоянная диффузии) - коэффициент диффузии при бесконечно большой температуре, см 2 /с;

Δ E - энергия активации диффузии, эВ;

k - постоянная Больцмана; T - температура процесса в градусах Кельвинах.

Диффузионные параметры различных элементов в кремнии, полученные различными исследователями, приведены в табл. 3.1

Таблица 3.1

	Множитель D 0 , см 2 /с	Энергия активации , эВ	Предельная растворимость при 1200 0 С, см -3	Тип проводимости

Алюминий








				амфотерный

Когда концентрация вещества изменяется только в одном направлении (одномерная диффузия) и при диффузии в изотропной среде (коэффициент диффузии - скаляр) первое уравнения Фика имеет следующий вид:

(3.2)

При простейшем анализе структур и в простейших моделях процессов легирования в технологии изготовления ИМС предполагаются именно такие условия диффузии.

Второе уравнение диффузии (второй закон Фика) получается путем сочетания первого закона и принципа сохранения вещества, согласно которому изменение концентрации вещества в данном объеме должно быть равно разности потоков этого вещества на входе в объем и выходе из него.

В общем случае второе уравнение диффузии имеет вид

(3.3)

Для одномерной диффузии в изотропной среде уравнение (3.3) можно записать

(3.4)

Второй закон Фика характеризует процесс изменения концентрации диффундирующей примеси во времени в различных точках среды и является математической моделью нестационарного (развивающегося) состояния системы (описывает период времени от начала процесса до установления стационарного состояния).

При постоянстве коэффициента диффузии D уравнение (3.4) упрощается

(3.5)

Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев, реализуемых в технологии ИМС.

Уравнения диффузии являются чисто феноменологическими, т.е. они не содержат никаких сведений о механизмах диффузии - о диффузионном процессе на атомном уровне. Кроме того, уравнения (3.1) - (3.5) не содержат информации о зарядовом состоянии диффундирующих частиц.

Процессы диффузии, используемые для изготовления интегральных структур, обычно анализируются с помощью частных решений уравнения (3.5) т.к., в отличие от (3.2), именно оно содержит важный параметр - время установления некоторого анализируемого состояния системы.

Основная цель решения уравнения - найти распределение примеси N ( x , t ) в полупроводнике после диффузии в течение определенного времени t при различных условиях осуществления процесса.

Общее решение уравнения (3.5) для бесконечного твердого тела при заданном в общем, виде начальном распределении примеси N ( x ,0) = f ( x ) может быть найдено методом разделения переменных. Оно имеет вид

, (3.6)

где ξ - текущая координата интегрирования.

Представленное выражение позволяет находить распределения примеси в твердом теле при любых начальных условиях. Решение конкретной задачи сводится к подстановке в (3.6) соответствующих ситуации начальных условий с последующими, как правило, очень громоздкими преобразованиями. Практически при создании полупроводниковых ИМС представляют интерес три частных случая: диффузии из полубесконечного пространства, диффузия из постоянного источника и диффузии из бесконечно тонкого слоя.

Диффузия из полубесконечного пространства (диффузия из концентрационного порога).

Диффундирующая примесь (диффузиант) поступает в полубесконечное тело через плоскость x = 0 из второго полубесконечного тела (источника) с равномерным распределением примеси. Концентрация примеси в источнике – N 0 . Предполагается, что в принимающем диффузант теле нет рассматриваемой примеси.

Начальное распределение концентраций для этого случая задается в виде

дляx < 0,

дляx > 0.

Решением уравнения (3.6) для этого случая является выражение

, (3.7)

где erf z - называют интегралом ошибок Гаусса или функцией ошибок (error function ) Гаусса аргумента z . В соответствии с сокращением это распределение называют erf – распределением:

. (3.8)

В математике часто используют как самостоятельную и другую функцию

, (3.9)

которая называется дополнением функции ошибок до единицы или дополнительной функцией ошибок - error function complement. Обе функции табулированы.

 Величина
имеет размерность длины и носит название диффузионной длины или длины диффузии. Физический смысл этого параметра - среднее расстояние, которое преодолели диффундирующие частицы в направлении выравнивания градиента концентрации за время t .

Рассмотренное решение можно использовать как простейшую модель, представляющую распределение примеси на границе эпитаксиальная пленка – подложка.

Диффузия из постоянного источника .

Диффузант поступает в полубесконечное тело через плоскость x = 0 из источника, обеспечивающего постоянную концентрацию примеси N 0 на поверхности раздела твердое тело - источник в течение любого времени. Такой источник называют бесконечным или источником бесконечной мощности. Полагается, что в принимающем диффузиант теле нет рассматриваемой примеси.

Начальное распределение концентраций и граничные условия для этого случая задаются в виде

дляx = 0,

дляx >0.

Решением уравнения (3.6) для данных условий является выражение

(3.10)

Если в объеме полупроводникового материала до диффузии имелась примесь противоположного типа по отношению к диффундирующей, эта примесь распределена по объему равномерно и её концентрация равна N исх , то в этом случае в полупроводнике образуется электронно-дырочный переход. Его положение (глубина залегания) x p - n определяется условием N ( x , t ) = N исх , откуда

(3.11)

и
(3.12),

где здесь запись erfc -1 обозначает аргумент z функции erfc .

Рассмотренная модель диффузионного процесса с постоянным источником описывает процесс диффузионного легирования полупроводникового материала из газовой или паровой фазы. Этот процесс используется при создании сильно легированных диффузионных слоев (например, эмиттерных) с поверхностными концентрациями N 0 близкими к значениям предельной твердой растворимости примеси N пред в данном полупроводниковом материале.

Д иффузии из бесконечно тонкого слоя в полубесконечное тело с отражающей границей на поверхности. Примером диффузии примеси из тонкого слоя в полубесконечное тело с отражающей границей является диффузия в кремниевую пластину из эпитаксиального, имплантированного или диффузионного слоя и покрытую слоем двуокиси кремнияSiO 2 или нитрида кремния Si 3 N 4 . Границу пластины и пленки можно с большой долей правдоподобия принять отражающей, т.к. коэффициенты диффузии большинства примесей в кремний на несколько порядков больше, чем в двуокись кремния и нитрид кремния.

Решение диффузионного уравнения при этих условиях находится в виде

(3.13)

Приведенное выражение представляет собой Гауссово распределение.

При решении этой задачи необходимо знать количество примеси Q , накопленной в твердом теле при диффузии в течение времени t . Эта величина определяется по формуле

(3.14)

где J (0, t ) - поток диффузанта в объем через плоскость x = 0 .

Следует обратить внимание на возрастающее со временем значение накопленной в диффузионном слое примеси при диффузии с данными граничными условиями.Диффузию из бесконечно тонкого слоя в сочетании с диффузией из постоянного источника в полуограниченное тело нашли широкое практическое применение при формировании диффузионных p - n -переходов методом двухступенчатой диффузии.

На первой стадии процесса проводится кратковременная диффузия (при пониженных температурах) из постоянного источника, распределение примеси после которой описывается выражением (3.10). Значение N o при этом велико и определяется либо пределом растворимости данной примеси в полупроводниковом материале, либо концентрацией примеси в стеклообразном слое на поверхности полупроводника. Этот этап часто называют "загонкой".

После окончания первой стадии пластины помещают в другую печь для последующей диффузии, обычно, при более высоких температурах. В этой печи нет источника примеси, а если он создавался на первой стадии в виде стеклообразного слоя на поверхности пластин, его предварительно удаляют. Таким образом, тонкий слой легированного полупроводника, полученный на первом этапе, является источником перераспределяемой примеси при проведении второй стадии процесса. Для создания отражающей границы второй этап (часто называемый "разгонкой") проводят в окислительной атмосфере. При этом на поверхности растет слой SiO 2 .

Существует заметное несоответствие между распределением примеси в источнике, сформированном при загонке, с декларируемым при выводе выражения (3.14) - ступенчатым. Это несоответствие должно отразиться на точности описания реального распределения примеси после второй стадии диффузии выражением (3.14).

При моделировании двухстадийной диффузии и анализе результатов процесса полагают, что выражение (3.14) достаточно точно соответствует реальному при условии, если величина произведения D 1 t 1 для первого этапа процесса легирования значительно меньше, чем D 2 t 2 для второго – D 2 t 2 >> D 1 t 1 . Это условие быстрой истощаемости источника. В этом случае, учитывая, что количество накопленной при первом этапе примеси определяется соотношением

из (3.14) получим

(3.15)

Величины D 2 и t 2 относятся ко второй стадии диффузии.

Тонкий слой на поверхности полупроводниковой пластины является источником, который очень быстро истощается. Непрерывная диффузия в этом случае приводит к постоянному понижению поверхностной концентрации примеси в полупроводнике. Эту особенность данного процесса используют в полупроводниковой технологии для получения контролируемых значений низкой поверхностной концентрации примеси, например, для создания базовых областей кремниевых транзисторных структур дискретных приборов или ИМС.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

В лабораторной работе для исследования теоретических аспектов процесса диффузии примеси в полупроводник используется специальная программа, работающая в среде WINDOWSи персоналный компьютерIBMPC. Программа позволяет выполнять расчет параметров диффузионного процесса и строить графики распределения примеси для различных параметров: вида и источника примеси, концентрации примеси, температуры и времени диффузии

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1. Ознакомиться с методами проведения процессов диффузии для формирования p - n -перехода и получить у преподавателя исходные данные. Составить и согласовать с преподавателем план работы.

3.2. Включить компьютер.

3.3. Запустить программу двойным нажатием левой кнопки мыши на иконку "ЛР 3", находящуюся на рабочем столе, и затем "ChemicGraph.exe ".

3.4.Нажмите кнопку "Настройка" и в выпавшем меню выберите "Величины". В открывшемся окне введите исходные данные процесса диффузии: D t , количество интервалов (не менее 100), время диффузииt 1 , t 2 и t 3 .

Выберите в нижней части панели требуемый вариант диффузии, установив соответствующий флажок. Введите значение концентрации примеси N 0 , см -3 .

Нажмите кнопку "Промежуточные значения" и в открывшемся окне:

Введите z 1 – 0,z 2 = 3…5 и шаг для вычисления функцииerfz и нажмите кнопку "Расчет" для получения расчетных значений;

Введите x 1 ,x 2 и шаг для расчета профиля распределения примеси по глубине и нажмите кнопку "Расчет".

Скопируйте расчетные данные в отчет.

3.5. Закройте окно "Промежуточные значения" и нажмите кнопку "ОК" на панели "Величины" для построения графика.

Нажмите "Настройка" и в выпавшем меню выберите "Настройка графика". В открывшемся окне путем подбора масштаба по осям "Х" и "У" добейтесь оптимального изображения графика в линейном масштабе.

3.6. В окне "Настройка графика" установите флажок "Логарифмическая шкала" (по оси У) и нажмите "ОК" для построения графиков в полулогарифмическом масштабе.

3.7. Выключите компьютер.

ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать: а) постановку задачи исследования; б) таблицы результатов расчетов; в)графики распределения примеси в полупроводниковой пластине для t 1 , t 2 иt 3 ; г) анализ полученных данных.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие существуют методы введения примеси в полупроводник?

2. Какие параметры процесса входят в первый закон Фика?

3. Какие параметры процесса связывает второй закон Фика?

4. Какую зависимость имеет распределение примеси при диффузии из постоянного источника?

5. Какую зависимость имеет распределение примеси при диффузии из бесконечно тонкого слоя?

6. Какую зависимость имеет распределение примеси при диффузии из полубесконечного тела в полубесконечное?

7. Каков вид зависимостей erfz иerfcz ?

8. Какие параметры учитывают при выборе диффузианта?

9. Какие существуют механизмы диффузии?

10. Как осуществляется локальное введение примеси при диффузии?

Путь перемешивания для содержания газа и газовые потки

При решении задач динамики турбулентных потоков используют понятие пути перемешивания для импульса. Л. Прандтль определил этот путь как расстояние, проходимое частицей жидкости до потери своей индивидуальности вследствие смешения с окружающим турбулентным потоком. Путь перемешивания характеризует перемешивающую способность потока. Это понятие используют и в теории переноса газа. Имея в виду, что в диффузионных процессах основным является процесс выравнивания содержания, путь перемешивания определяют как расстояние, которое проходит частица газовоздушной смеси до существенного изменения содержания находящегося в ней диффундирующего газа вследствие перемешивания с окружающей средой. В этом случае выражение «потеря индивидуальности» толкуется как потеря частицей ее газового содержания, и путь перемешивания называется путем перемешивания для содержания.

Если воздушный поток представить как совокупность шарообразных частиц, то путь перемешивания можно рассматривать как турбулентный аналог пути свободного пробега молекул, который совместно со скоростью их движения определяет интенсивность молекулярной диффузии газа.

В общем случае пути перемешивания для импульса и для содержания не равны друг другу, хотя до недавнего времени последний принимался равным пути перемешивания для импульса. Такое допущение может быть принято в качестве первого приближения только для пассивной примеси.

Путь перемешивания для содержания является важной газодинамической характеристикой, определяющей основной показатель интенсивности процесса турбулентной диффузии - коэффициент турбулентной диффузии.

Каждый из существующих четырех механизмов распространения газообразной примеси в вентиляционном потоке (конвективный, диффузионный молекулярный и диффузионный турбулентный переносы и распространение примеси путем вытеснения) характеризуется определенным количеством газа, переносимого газовым потоком через единицу площади в единицу времени. Соответственно отмеченным механизмам распространения существуют конвективный, молекулярный диффузионный, турбулентный диффузионный газовые потоки и "поток расширения".

Если через поверхность площадью S движется поток воздуха со средней скоростью U, то вектор расхода его через эту поверхность, Q в = U S . При содержании газа с в объеме Q в вектор его расхода через рассматриваемую поверхность за счет конвективного переноса потоком воздуха Q г = с Q в и вектор конвективного потока газа

J k = Q г / S= с U, (6.5)

а его компоненты по осям координат

j kx = cu; j ky = cv; j kz = cw; (6.6)

где и, v, u - соответственно компоненты вектора абсолютной скорости U .

При определении молекулярного диффузионного потока газа исходят из его пропорциональности градиенту содержания газа (первый закон Фика):

j м = - D м ·grad c , (6.7)

где D м - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом молекулярной диффузии.

Компоненты молекулярного диффузионного потока:

j м x = -D м ·дс/дх; j м y = -D м ·дс/ду; j м z = -D м ·дс/дz. (6.8)

D м не зависит от координат.

Знак "минус" в формуле (6.7) означает, что направление молекулярного диффузионного потока газа противоположно вектору градиента содержания, т.е. поток, направлен в сторону падения содержания.

Турбулентный диффузионный поток газа можно выразить аналогично конвективному, используя, однако, вектор не усредненной, а пульсационной скорости u п и не усредненное, а пульсационное значение содержания с п . Тогда вектор мгновенного турбулентного диффузионного потока газа будет равен с п u п, а усредненного по времени

Черта означает усреднение по времени. Компоненты этого потока по осям координат:

где и п , v п , w п - компоненты вектора мгновенной пульсационной скорости.

Турбулентный диффузионный поток, согласно идее Буссинеска о переносе импульса, определяют аналогично молекулярному, с той лишь разницей, что коэффициентом пропорциональности между потоком и градиентом содержания будет коэффициент турбулентной диффузии D т , зависящий от ее направления:

j т = - D т ·grad c , ; (6.11)

j т x = -D т x ·дс/дх; j т y = -D т y ·дс/ду; j т z = -D т z ·дс/дz, (6.12)

где D т x , D т y , D т z - компоненты коэффициента турбулентной диффузии.

Поток расширения - поток конвективный. Если некоторый объем газовоздушной смеси со средним по объему содержанием газа с расширяется за счет ввода в него дополнительных количеств этого же газа, то компоненты потока расширения:

j р x = cu р ; j р y = cv р ; j р z = cw р ; , (6.13)

где u р ; v р ;w р - компоненты скорости расширения.

Поток расширения может быть положительным (газовыделение происходит в рассматриваемый объем) и отрицательным (в рассматриваемом объеме происходит поглощение газа).

Полный поток газа в точке

j 0 =j k +j м +j т +j р (6.14)

Удельный вес каждого из четырех газовых потоков в общем балансе газопереноса в выработке определяется конкретными условиями. В ядре турбулентного воздушного потока, движущегося с достаточно высокой средней скоростью, обычно преобладающим является конвективный поток газа, на втором месте стоит турбулентный диффузионный поток. Молекулярным потоком и потоком расширения в этих случаях можно пренебречь. При малых средних скоростях воздушного потока (например, камеры больших сечений) в его ядре может стать преобладающим турбулентный диффузионный поток. У твердых границ его, где усредненная и пульсационные скорости близки к нулю, повышается роль молекулярного диффузионного потока газа. Непосредственно на твердой границе перенос газа определяется только механизмами молекулярной диффузии и расширения (в случае выделения газа в выработку или его поглощения). В ядре воздушного потока с развитой турбулентностью турбулентный перенос происходит в сотни и тысячи раз активнее молекулярного.

Соотношение между турбулентным и молекулярным потоками определяется из выражений (5.11) и (5.7):

Аналогично определяется соотношение между компонентами потоков. Так, для поперечных относительно основного движения воздушного потока компонент

Пример. Оценим роль потока расширения для выработки в целом. Рассмотрим участок выработки при подземной разработке длиной 100 м, с площадью поперечного сечения 10 м 2 . Удельное газовыделение в выработку на этом участке составляет 1,5 л/(мин·м 2). Тогда при мощности пласта 1 м и двух обнажениях общее газовыделение на рассматриваемом участке выработки составит 1,5×1×100×2 = 0,3 м 3 /мин. Следовательно, скорость расширения вдоль выработки в две стороны и р = 0,3: (10·2) = 1,5·10 -2 м/мин. Если среднее долевое содержание газа на рассматриваемом участке выработки с = 0,005, то в соответствии с формулой (5.13) поток расширения вдоль выработки будет равен 0,005·1,5·10 -2 = 7,5·10 -5 м 3 /(мин·м 2). При существующих значениях коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии и продольном градиенте содержания, соответствующем принятому газовыделению и скорости воздуха в выработке 1 м/с и равном 0,5·10 -5 м -1 , продольный молекулярный диффузионный поток будет иметь порядок 10 -8 м 3 /(мин·м 2), продольный турбулентный -10 -5 м 3 /(мин·м 2).

В выражениях для диффузионных газовых потоков коэффициенты молекулярной и турбулентной диффузии являются единственными параметрами, учитывающими свойства среды. Естественно, что эти величины имеют сложный характер, и их определение - одна из важных задач теории диффузионных процессов.

Коэффициенты молекулярной диффузии . Для газов со сходными молекулами (имеющими почти равные массы и эффективные сечения) Максвелл получил следующее выражение для коэффициента молекулярной диффузии:

где - длина свободного пробега молекул; v м - скорость их теплового движения; черта означает среднее значение величины. При нормальных условиях имеет порядок 10 -5 см, v м = 10 -4 ÷10 -5 см/с.

В силу статистической однородности молекулярного движения величины и , а, следовательно, и коэффициент молекулярной диффузии не зависят от направления. Коэффициент молекулярной диффузии слабо зависит от содержания диффундирующего газа. С увеличением температуры он возрастает пропорционально Т 1+ a , где Т - абсолютная температура среды, а - коэффициент, изменяющийся от 0,5 до 1. С увеличением давления коэффициент уменьшается в обратно пропорциональной зависимости.

Выше отмечалось, что в шахтных условиях молекулярная диффузия имеет подчиненное значение в процессе переноса газов. Кроме того, изменения содержания газов, температуры и давления воздуха в активно вентилируемых горных выработках относительно невелики. Поэтому при решении задач газопереноса в шахтах можно принимать D м = const.

Следует иметь в виду, что коэффициент молекулярной диффузии газа в среду равен коэффициенту молекулярной диффузии среды в этот газ. Средние значения коэффициентов молекулярной диффузии некоторых газов приведены ниже.

Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с

Аммиак в воздухе 0 0,217

Водород в воздухе - 0,634

Метан в воздухе - 0,196

Оксид углерода в воздухе - 0,129-0,138

Углекислый газ в воздухе 0 0,142

Коэффициенты турбулентной диффузии . В теории турбулентности коэффициент турбулентной (или вихревой) диффузии вводится как некоторый коэффициент пропорциональности. При этом для его выражения используют три принципиально различных подхода.

В первом способекоэффициент турбулентной диффузии определяют, следуя Буссинеску, как коэффициент пропорциональности между потоком газа и градиентом содержания в соответствии с формулой (6.11) - j т = - D т ·grad c .

Известно, что произведение вектора, каким является в формуле (6.11) градиент содержания, на некоторую величину [в выражении (6.11) ею является коэффициент турбулентной диффузии D т ] может дать вектор [в формуле (6.11) это вектор потока газа] лишь в случае, если эта величина является скаляром или тензором. Коэффициент турбулентной диффузии не может быть скаляром в связи с тем, что в случае равенства производных от содержания по направлениям компоненты газовых потоков по этим направлениям также были бы равны, что в условиях существенно неоднородного и неизотропного турбулентного воздушного потока в выработках невозможно вследствие различия компонент пульсационных скоростей.

Таким образом, остается предположить, что коэффициент турбулентной диффузии в горной выработке - тензор. Можно показать, что в условиях неоднородной и неизотропной турбулентности коэффициент турбулентной диффузии - тензор второго ранга. Тогда компоненты газового потока будут иметь следующее выражение:

(6.17)

(6.18)

(i ,j = х,у,z )является тензором коэффициентов турбулентной диффузии второго ранга с компонентами D т xx , D т xу, ..., D т zz .

Выражение (6.17) может быть записано в свернутом виде

. (6.19)

где правая часть представляет собой сумму трех значений , получающихся, если фиксировать i , а j придавать последовательно значения х, у, z (суммирование по двойному индексу).

Выражение (6.19) обычно упрощают, принимая, что оси Ох, Оу, Оz, являются главными осями тензора. Если тензор симметричный, то и, следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется только диагональными компонентами D т xx ,D т yу , D т zz .

Для однородной и изотропной турбулентности имеет место сферическая симметрия газовых потоков. Следовательно,

В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.

В выражении (6.11) векторы j т и gradс коллинеарны*. Следовательно, согласно определению, направление вектора gradс является главным направлением тензора, а ось координат, соответствующая ему, - главной осью. Нахождение главных осей тензора коэффициентов диффузии для выработки - в ряде случаев задача неопределенная, так как для этого необходимо знать поверхности равных содержаний в потоке, т.е. поле содержаний, что обычно является конечной задачей исследований. Лишь в простых случаях диффузии главные направления могут быть определены достаточно просто. Например, при газовыделении с одной стенки gradс с некоторым приближением можно принять нормальным к этому боку и, следовательно, главные оси тензора будут направлены вдоль потока воздух и перпендикулярно к нему. В более сложных случаях главные оси тензора могут иметь и другие направления.

Следует отметить, что принятие тензора D т y симметричным для случая движения воздуха в горной выработке является также определенным допущением. Для неоднородного и неизотропного турбулентного потока, каким является вентиляционный поток в выработке, тензор коэффициентов турбулентной диффузии будет несимметричным. Ниже отмечается, что компоненты тензора коэффициентов турбулентной диффузии могут быть выражены через усредненное произведение (корреляцию) мгновенных значений пульсационной скорости и ni и пути перемешивания для содержания (здесь i ,j = х, у, z, и ni = и п ; u пу = v n u nу =w n). Для симметричного тензора должны соблюдаться равенства , что приводит к соотношениям . Однако для неизотропных вентиляционных потоков корреляция несимметрична относительно i и j , а это не отвечает приведенным равенствам. Несимметричность тензора коэффициентов турбулентной диффузии для шахтных вентиляционных потоков косвенно доказывается фактором различной интенсивности турбулентной диффузии в разных направлениях.

Отмеченные приближения, которые применяют при решении практических задач шахтной газовой динамики, в настоящее время не имеют оценки. Применительно к условиям диффузии в приземном слое атмосферы погрешности незначительны (в некоторых случаях они составляют 15-20 %). Однако степень анизотропности шахтных вентиляционных потоков значительно выше атмосферных, что может привести к необходимости учета факта несимметричности тензора диффузии.

Второй способопределения коэффициента турбулентной диффузии основан на использовании теории Прандтля о пути перемешивания, согласно которой компоненты потока газа можно определять как сумму трех слагаемых:

. (6.21)

Здесь, подобно тому, как это было принято в выражении (6.19) - , суммирование производится по двойному индексу (j ); i = j = х,у,z; ; L c - путь перемешивания для содержания.

Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга

(6.22)

определяемым девятью компонентами -

Сопоставляя методы выражения коэффициента турбулентной диффузии по Буссинеску и Прандтлю, видим, что в первом случае коэффициент турбулентной диффузии остается неопределенным, во втором - определяется через характеристики турбулентного движения ().

В случае плоского потока () коэффициент турбулентной диффузии в поперечном к основному движению направлении определяется из выражения (6.21):

В случае изотропной турбулентности можно принять L cx = L су, что приводит к равенству

т.е. в этом частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.

Если в уравнении (6.23) v n выразить по Прандтлю через путь перемешивания для импульса L, то для плоского потока получим выражение

, (6.24)

где среднее квадратичное значение v п

а 1 - коэффициент пропорциональности между u n и v п. Если принять, что

L / L с = а 2 = сопst, (6.25)

. (6.26)

Величина для случая диффузии газа является аналогом пути перемешивания для импульса по Карману (не тождественному прандтлевскому пути перемешивания).

Из уравнения видно, что, имея какие-либо гипотезы относительно величин l С (), можно, измеряя в потоке, определить коэффициент турбулентной диффузии. Наиболее простым допущением является отождествление l с путем перемешивания для импульса l ; во многих случаях такое приближение дает вполне удовлетворительные результаты.

Следующим шагом в этом направлении является принятие пропорциональности между l с и l ; значение коэффициента пропорциональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объеме и в среде. По имеющимся сведениям, этот коэффициент больше 1; для азота он равен ~, для гелия ~. Имеются попытки оценить l с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затухание турбулентности под действием объемных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.

Наконец, третий способ определения коэффициента турбулентной диффузии основан на представлении процесса диффузии как случайного движения жидких частиц, первоначально сконцентрированных в некоторой области. Бэтчелор показал, что и в этом случае коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга. Запись его (для случая однородной турбулентности), однако, имеет иной вид:

где у i , y j - лагранжевы координаты жидкой частицы, величины случайные, являющиеся функцией времени.

Представление коэффициента турбулентной диффузии в виде тензора имеет в основном теоретическое значение. В настоящее время практически ничего неизвестно о недиагональных компонентах этого тензора. Изученные в какой-либо степени компоненты тензора диффузии - это диагональные компоненты D т xx ,D т yу , D т zz , которые в дальнейшем и будут рассматриваться. Для простоты написания обозначим D т xx = D тх и т.д.

Необходимо отметить, что в общем случае коэффициент турбулентной диффузии является функцией координат. Это можно видеть, например, из уравнения (6.24), где величины dи/dу, v ´ n , l с для потоков в горных выработках являются функциями поперечных координат , а в некоторых случаях (изменение сечения по длине выработки, свободные струи) - и продольной координаты. Эти же величины являются и функциями скорости потока (точнее, числа Рейнольдса - Rе* потока), что говорит о существовании зависимости коэффициента турбулентной диффузии и от числа Rе.

Данные о коэффициентах турбулентной диффузии в горных выработках немногочисленны, что в значительной степени объясняется техническими трудностями их измерений. Имеющиеся сведения частично основываются на данных о коэффициенте турбулентного обмена для импульса и предположении о пропорциональности ему коэффициента турбулентной диффузии .

К.М. Тумаковой были установлены автомодельность поперечных составляющих относительного коэффициента турбулентной диффузии:

; - средняя скорость потока; α – коэффициент аэродинамического сопротивления; r - плотность потока; Н - высота выработки) по числу Рейнольдса, начиная от Rе = 13600, а также равенство вертикальной и горизонтальной поперечных составляющих коэффициента диффузии. Их значения в ядре потока равнялись 0,02, а на расстоянии 0,13H и 0,8H от кровли - 0,03.

В ряде случаев хорошие результаты получаются, если использовать средние по высоте (ширине) выработки значения коэффициентов турбулентной диффузии.

Коэффициент турбулентной диффузии может быть рассчитан по характеристике рассеивания газа. Для случая однородной и изотропной турбулентности в равномерном потоке воздуха (без градиента скорости) распределение содержания газа в газовом факеле за источником газовыделения описывается гауссовой кривой ошибок:

, (6.27)

где с - содержание газа в точке с координатами х,у;z - расстояние от источника вниз по потоку; у - расстояние от точки, соответствующей максимальному содержанию газа с mах в плоскости х = соnst, измеряемое в направлении, перпендикулярном направлению движения воздуха; и - скорость потока воздуха.

Если в формуле (6.27) с выразить как часть с mах, то из нее можно определить D т . Например, полагая с = с mах /2, получим

D т =, (6.28)

где - расстояние от оси газового факела до точки в его поперечном сечении, в которой с = с mах /2.

Все величины в уравнении (6.27) поддаются прямому измерению: и и х измеряют непосредственно на месте эксперимента, - по графику зависимости с(у), построенному на основании измерения содержания на расстоянии от источника, равном х.

Поскольку выражение (6.27) справедливо лишь для однородной и изотропной турбулентности, то в силу равенства (6.20) по нему определяют диагональные члены тензора коэффициентов диффузии, не зависящие от координат.

Известно, что турбулентность шахтных вентиляционных потоков неизотропна; ее можно считать однородной лишь в направлении основного течения (при неизменных форме сечения, шероховатости стен и расходе воздуха). Поэтому для шахтных условий выражение (65.28) дает, во-первых, неточные значения D т и, во-вторых, лишь некоторые средние значения поперечной компоненты тензора D т y . Погрешности будут возрастать по мере приближения источника газа от оси потока к стенке, так как при этом источник попадает в области все большего градиента скорости, т.е. все большей анизотропии турбулентности.

Учитывая экспериментальное подтверждение аналогии Рейнольдса для процессов переноса импульса и пассивной примеси при течениях в пристеночной области, коэффициенты диффузии шахтных вентиляционных потоков при диффузии пассивных газов в первом приближении можно принимать равными коэффициенту турбулентного обмена для импульса. Для чисел Рейнольдса от 1,25·10 4 до 3,72·10 4 относительные значения последних для штрекообразной выработки прямоугольного сечения, закрепленной рамной крепью из круглого леса с продольным калибром 7,5, относительной шероховатостью в направлении вертикальной оси 8,9, горизонтальной (перпендикулярной основному движению) 8,4 приведены на графиках рис. 6.1 и 6.2, где y - координата, перпендикулярная бокам выработки, z - кровле и почве. Пересчет относительных значений турбулентного обмена импульса в абсолютные производится по формуле ε = ε *v *D , где D - характерный линейный размер потока (например, диаметр). Приведенные на графиках данные соответствуют средним по сечению абсолютным значениям коэффициентов турбулентного обмена для импульса ε у и ε z , порядка 5·10 -3 м 2 /с при средней скорости воздуха в выработке u ср =1 м/с, коэффициенте трения α = 15·10 -3 Н·с 2 /м 4 , плотности воздуха r = = 1,22 кг/м 3 , диаметре выработки D = 2,5 м.

Рис. 6.1. Зависимость от у* = = у/Н (Н - высота выработки)

Рис. 6.2. Зависимость от z* = = z/В (В - ширина выработки)

Значения компоненты D т y ·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:

модель штрекообразной выработки, площадь поперечного сечения13,4×14,2 см, средняя скорость воздушной струи 0,25 м/с ..........................................1,1

квершлаг, закрепленный анкерами, площадь поперечного сечения 24,5 м 2 ,

скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с ........................................................2,4÷4,1

то же, площадь поперечного сечения 23 м 2 , скорость воздушной струи 1,1 м/с ........6,8

квершлаг без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 11,8 м 2 , скорость воздушной струи 1,7 м/с .......................................................5,1

то же, площадь поперечного сечения 7,5 м 2 , скорость воздушной струи 0,8 м/с …...1,8

штрек без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 10 м 2 , скорость воздушной струи 0,27 м/с ...............................................................0,8

Для расчета продольных D т x и поперечных D т y компонент коэффициента турбулентной диффузии метана в воздухе можно использовать приведенные ниже формулы.

Для штрекообразных выработок

; (6.29)

, (6.30)

где , а число Рейнольдса не рассчитывается по .

Для элемента S (м 2) поперечного сечения штрекообразной выработки при средней скорости по площади элемента и" ср (м/с):

. (6.31)

Для круглых гладких и шероховатых труб

, (6.32)

где R - радиус трубы.

Для широкого прямого канала

. (6.33)

Для диффузии углекислого газа в воздухе

где k : = 3,96·10 -4 м.

В формулах (6.29)-(6.33) использованы следующие обозначения:

Н- высота выработки, м;

Динамическая скорость, м/с;

u ср - средняя скорость воздушной струи, м/с;

α - коэффициент аэродинамического сопротивления, Н·с 2 /м 4 ;

r -плотность воздуха, кг/м 3 ;

ν - кинематический коэффициент вязкости, м 2 /с;

S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 .

По этим формулам для некоторых средних условий (u ср = 1 м/с; Н= 2,5 м, = 0,1 м/с; R = 1 м) значения компонент D т x , D т y составляют порядка 10 -3 м /с.

Коэффициент турбулентной диффузии D характеризует рассеивание газа в потоке за счет работы турбулентных пульсаций. В ряде случаев на перемещения диффундирующего газа налагаются более сильные движения, вызываемые наличием сдвига (градиента) скорости потока. Именно к таким потокам - "потокам со сдвигом" - относятся шахтные вентиляционные потоки.

В 1951 г. В.Н. Воронин показал, что при движении газового облака по выработке его продольная деформация определяется профилем скоростей. В 1953 г. Дж. Тэйлор опубликовал решение задачи продольной турбулентной диффузии примеси от мгновенного источника в круглой трубе. Им было показано, что продольное рассеивание примеси, вызываемое градиентом скорости, существенно больше, чем рассеивание, вызываемое турбулентными пульсациями скорости. Дж. Тэйлор предложил оценивать суммарный эффект продольного рассеивания примеси относительно плоскости, движущейся со средней скоростью потока, коэффициентом, который получил название эффективного коэффициента диффузии D Э:

D Э = D г = D тх , (6.35)

Коэффициент D э может быть определен в точке или быть усредненным.

Исследования С.П. Грекова и А.Е. Калюсского позволили получить следующее выражение для эффективного коэффициента диффузии штрекообразной выработки:

; (6.37)

по И.Ф. Ярембашу

. (6.38)

Здесь v - кинематический коэффициент вязкости воздуха, м 2 /с; u ср, - средняя скорость воздушного потока, м/с; D - диаметр выработки, м; α - коэффициент аэродинамического сопротивления выработки, Н·с 2 /м 4 ; S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 ; r - плотность воздуха, кг/м 3 .

К.Ю. Лайгна и Э.А. Поттер в своих последних работах* дают следующее выражение для среднего по поперечному сечению эффективного коэффициента диффузии:

, (6.39)

где, а число Рейнольдса рассчитывают по . Значение D э можно определить также по графикам, представленным на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Графики к определению эффективного коэффициента турбулентной диффузии

Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D э, порядка нескольких м 2 /с.

Дж. Тэйлор и К.Ю. Лайгна, исследуя влияние изогнутости канала на коэффициент диффузии, сделали вывод, что этот фактор может увеличивать D э до двух раз.

Для изучения газодинамических процессов при действии свободных струй В.Н. Воронин применил коэффициент турбулентной диффузии k т, определив его как отношение среднего содержания газа в поперечном сечении ядра постоянной массы свободной струи с я к среднему содержанию на ее границе с гр:

Значения k т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.

Основываясь на подобии полей скоростей и содержаний в ядре постоянной массы свободной струи, В.Н. Воронин получил следующие выражения для коэффициента турбулентной диффузии чистых (не содержащих газа в начальном сечении) свободных струй:

для основного участка круглой струи

k т = 1÷1,84А ; (6.41)

для основного участка плоской струи

k т = 1÷1,44А´ ;. (6.42)

В приведенных формулах

(6.43)

, (6.44)

где R Я - радиус ядра постоянной массы; и - скорость в точке с координатами х , у; и 0 - осевая скорость; φ я - относительная координата границы ядра постоянной массы;

а - коэффициент структуры свободной струи, зависящий от начальных турбулентности и профиля скорости (по В.Н. Воронину, для круглой струи а = 0,044÷0,053, для плоской а = 0,09÷0,12).

Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитанные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.

Приведенные выражения справедливы для свободных струй в неограниченном пространстве. В условиях горных выработок свободные струи часто распространяются в ограниченных объемах, при этом воздухообмен между струей и окружающим воздухом определяется не только структурой струи, но и структурой воздушных потоков в окружающей ее среде, которая в свою очередь зависит от геометрии ограничивающих поверхностей и их шероховатости и в общем случае отлична от таковой в неограниченных объемах. В результате коэффициенты турбулентной диффузии струй в ограниченных пространствах отличаются от таковых в неограниченных пространствах. Впервые это было отмечено Ю.М. Первовым, который предложил учитывать его соответствующим изменением коэффициента структуры а.

Рис. 6.4. Зависимость k т от для круглой (а) и аl/b 0 для плоской (б) струй (l - длина струи, S - площадь ее начального сечения)

С учетом п - отношения ширины камеры к ширине выработки, подводящей воздух, согласно Ю.М. Первову:

для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при

n >2,33а = 0,077(n -0,5)(n + 1).

При п < 2,33 коэффициент структуры не зависит от степени ограничения и равняется 0,42;

для струи, выходящей из круглой гладкой трубы, при п > 2,33

а = 0,062 (п -0,5)

При n <2,33 а = 0,034;

для плоской струи при п > 3,12

а = 0,2(n 3/2 - 1,25n + 0,25)/(n 3/2 - 1),

а при п <3,12

а = 0,085 .

Подобное явление было установлено при распространении свободных ветровых струй в карьерах.

По В.Н. Воронину, коэффициент турбулентной диффузии струи, и начальном сечении которой уже имеется некоторое количество газа с содержанием с 0 (частично загазованная струя), определяется по формуле

. (6.46)

При этом принимается, что коэффициент турбулентной диффузии не зависит от турбулентной структуры газовоздушной среды вне свободной струи, т.е. газообмен между струей и средой определяется лишь течением в струе, а это, видимо, справедливо только для затопленных струй, распространяющихся в неограниченном пространстве. Поскольку через границу свободной струи происходит обмен турбулентными массами, то турбулентная структура струи должна зависеть от структуры движения и энергии привносимых в нее извне масс. При исследованиях затопленных струй, распространяющихся в ограниченных пространствах (карьеры, тупиковые выработки, камеры и т.п.), была установлена завиисимость их угла раскрытия [а следовательно, в соответствии с формулой (6.36) - и коэффициента структуры струи] от геометрии ограничивающих поверхностей, что должно быть связано с турбулентной структурой вторичных токов, заполняющих пространство между ограничивающими поверхностями и границей свободной струи*.

В общем случае структура вторичных токов должна зависеть от начального расхода воздуха в струе, и для точного описания газообменных процессов, связанных с распространением свободных струй, с помощью коэффициента турбулентной диффузии В.Н. Воронина необходимо определить зависимости его от диффузионных свойств внешней среды (например, от коэффициента диффузии D т.

Более строгим является исследование процессов газопереноса в свободных струях на основе ранее рассмотренных коэффициентов турбулентной диффузии и эффективных коэффициентов диффузии. Исследования для их установления применительно к струйным движениям в горных условиях были выполнены К.Ю. Лайгна, Э.А. Поттером и О.А. Суллакатко. Ими впервые получены выражения для расчета коэффициентов турбулентной диффузии ограниченной (степенной) струи , в частности, для эффективных коэффициентов продольной турбулентной диффузии:

круглая турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10 3:

плоская турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10:

(6.49)

Здесь - коэффициент стеснения струи; S - площадь поперечного сечения выработки; d - начальный диаметр струи; и - средняя начальная скорость струи; Н, В - соответственно высота и ширина выработки; b - начальная ширина струи.

ТЕМА №7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ШАХТАХ

Коэффициенты диффузии

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Коэффициенты диффузии
Рубрика (тематическая категория)	Спорт

Путь перемешивания для содержания газа и газовые потки

При решении задач динамики турбулентных потоков используют понятие пути перемешивания для импульса. Л. Прандтль определил данный путь как расстояние, проходимое частицей жидкости до потери своей индивидуальности вследствие смешения с окружающим турбулентным потоком. Путь перемешивания характеризует перемешивающую способность потока. Это понятие используют и в теории переноса газа. Имея в виду, что в диффузионных процессах основным является процесс выравнивания содержания, путь перемешивания определяют как расстояние, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ проходит частица газовоздушной смеси до существенного изменения содержания находящегося в ней диффундирующего газа вследствие перемешивания с окружающей средой. В этом случае выражение ʼʼпотеря индивидуальностиʼʼ толкуется как потеря частицей ее газового содержания, и путь перемешивания принято называть путем перемешивания для содержания.

В случае если воздушный поток представить как совокупность шарообразных частиц, то путь перемешивания можно рассматривать как турбулентный аналог пути свободного пробега молекул, который совместно со скоростью их движения определяет интенсивность молекулярной диффузии газа.

В общем случае пути перемешивания для импульса и для содержания не равны друг другу, хотя до недавнего времени последний принимался равным пути перемешивания для импульса. Такое допущение должна быть принято в качестве первого приближения только для пассивной примеси.

В случае если через поверхность площадью S движется поток воздуха со средней скоростью U, то вектор расхода его через эту поверхность, Q в = U S . При содержании газа с в объёме Q в вектор его расхода через рассматриваемую поверхность за счёт конвективного переноса потоком воздуха Q г = с Q в и вектор конвективного потока газа

J k = Q г / S= с U, (6.5)

а его компоненты по осям координат

j kx = cu; j ky = cv; j kz = cw; (6.6)

где и, v, u - соответственно компоненты вектора абсолютной скорости U .

j м = - D м ·grad c , (6.7)

где D м - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом молекулярной диффузии.

Компоненты молекулярного диффузионного потока:

j м x = -D м ·дс/дх; j м y = -D м ·дс/ду; j м z = -D м ·дс/дz. (6.8)

D м не зависит от координат.

Знак "минус" в формуле (6.7) означает, что направление молекулярного диффузионного потока газа противоположно вектору градиента содержания, ᴛ.ᴇ. поток, направлен в сторону падения содержания.

Черта означает усреднение по времени. Компоненты этого потока по осям координат:

где и п , v п , w п - компоненты вектора мгновенной пульсационной скорости.

j т = - D т ·grad c , ; (6.11)

j т x = -D т x ·дс/дх; j т y = -D т y ·дс/ду; j т z = -D т z ·дс/дz, (6.12)

где D т x , D т y , D т z - компоненты коэффициента турбулентной диффузии.

Поток расширения - поток конвективный. В случае если некоторый объем газовоздушной смеси со средним по объёму содержанием газа с расширяется за счёт ввода в него дополнительных количеств этого же газа, то компоненты потока расширения:

j р x = cu р ; j р y = cv р ; j р z = cw р ; , (6.13)

где u р ; v р ;w р - компоненты скорости расширения.

Поток расширения должна быть положительным (газовыделение происходит в рассматриваемый объём) и отрицательным (в рассматриваемом объёме происходит поглощение газа).

Полный поток газа в точке

j 0 =j k +j м +j т +j р (6.14)

Удельный вес каждого из четырех газовых потоков в общем балансе газопереноса в выработке определяется конкретными условиями. В ядре турбулентного воздушного потока, движущегося с достаточно высокой средней скоростью, обычно преобладающим является конвективный поток газа, на втором месте стоит турбулентный диффузионный поток. Молекулярным потоком и потоком расширения в этих случаях можно пренебречь. При малых средних скоростях воздушного потока (к примеру, камеры больших сечений) в его ядре может стать преобладающим турбулентный диффузионный поток. У твердых границ его, где усредненная и пульсационные скорости близки к нулю, повышается роль молекулярного диффузионного потока газа. Непосредственно на твердой границе перенос газа определяется только механизмами молекулярной диффузии и расширения (в случае выделения газа в выработку или его поглощения). В ядре воздушного потока с развитой турбулентностью турбулентный перенос происходит в сотни и тысячи раз активнее молекулярного.

Соотношение между турбулентным и молекулярным потоками определяется из выражений (5.11) и (5.7):

Пример. Оценим роль потока расширения для выработки в целом. Рассмотрим участок выработки при подземной разработке длиной 100 м, с площадью поперечного сечения 10 м 2 . Удельное газовыделение в выработку на этом участке составляет 1,5 л/(мин·м 2). Тогда при мощности пласта 1 м и двух обнажениях общее газовыделение на рассматриваемом участке выработки составит 1,5×1×100×2 = 0,3 м 3 /мин. Следовательно, скорость расширения вдоль выработки в две стороны и р = 0,3: (10·2) = 1,5·10 -2 м/мин. В случае если среднее долевое содержание газа на рассматриваемом участке выработки с = 0,005, то в соответствии с формулой (5.13) поток расширения вдоль выработки будет равен 0,005·1,5·10 -2 = 7,5·10 -5 м 3 /(мин·м 2). При существующих значениях коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии и продольном градиенте содержания, соответствующем принятому газовыделению и скорости воздуха в выработке 1 м/с и равном 0,5·10 -5 м -1 , продольный молекулярный диффузионный поток будет иметь порядок 10 -8 м 3 /(мин·м 2), продольный турбулентный -10 -5 м 3 /(мин·м 2).

Выше отмечалось, что в шахтных условиях молекулярная диффузия имеет подчиненное значение в процессе переноса газов. Вместе с тем, изменения содержания газов, температуры и давления воздуха в активно вентилируемых горных выработках относительно невелики. По этой причине при решении задач газопереноса в шахтах можно принимать D м = const.

Следует иметь в виду, что коэффициент молекулярной диффузии газа в среду равен коэффициенту молекулярной диффузии среды в данный газ. Средние значения коэффициентов молекулярной диффузии некоторых газов приведены ниже.

Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с

Аммиак в воздухе 0 0,217

Водород в воздухе - 0,634

Метан в воздухе - 0,196

Оксид углерода в воздухе - 0,129-0,138

Углекислый газ в воздухе 0 0,142

Известно, что произведение вектора, каким является в формуле (6.11) градиент содержания, на некоторую величину [в выражении (6.11) ею является коэффициент турбулентной диффузии D т ] может дать вектор [в формуле (6.11) это вектор потока газа] лишь в случае, в случае если эта величина является скаляром или тензором. Коэффициент турбулентной диффузии не должна быть скаляром в связи с тем, что в случае равенства производных от содержания по направлениям компоненты газовых потоков по этим направлениям также были бы равны, что в условиях существенно неоднородного и неизотропного турбулентного воздушного потока в выработках невозможно вследствие различия компонент пульсационных скоростей.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, остается предположить, что коэффициент турбулентной диффузии в горной выработке - тензор.
Размещено на реф.рф
Можно показать, что в условиях неоднородной и неизотропной турбулентности коэффициент турбулентной диффузии - тензор второго ранга. Тогда компоненты газового потока будут иметь следующее выражение:

(6.17)

(6.18)

Выражение (6.17) должна быть записано в свернутом виде

. (6.19)

где правая часть представляет собой сумму трех значений , получающихся, в случае если фиксировать i , а j придавать последовательно значения х, у, z (суммирование по двойному индексу).

Выражение (6.19) обычно упрощают, принимая, что оси Ох, Оу, Оz, являются главными осями тензора. В случае если тензор симметричный, то и, следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется только диагональными компонентами D т xx ,D т yу , D т zz .

В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.

В выражении (6.11) векторы j т и gradс коллинеарны*. Следовательно, согласно определению, направление вектора gradс является главным направлением тензора, а ось координат, соответствующая ему, - главной осью. Нахождение главных осей тензора коэффициентов диффузии для выработки - в ряде случаев задача неопределенная, так как для этого крайне важно знать поверхности равных содержаний в потоке, ᴛ.ᴇ. поле содержаний, что обычно является конечной задачей исследований. Лишь в простых случаях диффузии главные направления бывают определены достаточно просто. К примеру, при газовыделении с одной стенки gradс с некоторым приближением можно принять нормальным к этому боку и, следовательно, главные оси тензора будут направлены вдоль потока воздух и перпендикулярно к нему. В более сложных случаях главные оси тензора могут иметь и другие направления.

Следует отметить, что принятие тензора D т y симметричным для случая движения воздуха в горной выработке является также определенным допущением. Стоит сказать, что для неоднородного и неизотропного турбулентного потока, каким является вентиляционный поток в выработке, тензор коэффициентов турбулентной диффузии будет несимметричным. Ниже отмечается, что компоненты тензора коэффициентов турбулентной диффузии бывают выражены через усредненное произведение (корреляцию) мгновенных значений пульсационной скорости и ni и пути перемешивания для содержания (здесь i ,j = х, у, z, и ni = и п ; u пу = v n u nу =w n). Важно заметить, что для симметричного тензора должны соблюдаться равенства , что приводит к соотношениям . При этом для неизотропных вентиляционных потоков корреляция несимметрична относительно i и j , а это не отвечает приведенным равенствам. Несимметричность тензора коэффициентов турбулентной диффузии для шахтных вентиляционных потоков косвенно доказывается фактором различной интенсивности турбулентной диффузии в разных направлениях.

Отмеченные приближения, которые применяют при решении практических задач шахтной газовой динамики, в настоящее время не имеют оценки. Применительно к условиям диффузии в приземном слое атмосферы погрешности незначительны (в некоторых случаях они составляют 15-20 %). При этом степень анизотропности шахтных вентиляционных потоков значительно выше атмосферных, что может привести к крайне важно сти учета факта несимметричности тензора диффузии.

. (6.21)

Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга

(6.22)

определяемым девятью компонентами -

В случае изотропной турбулентности можно принять L cx = L су, что приводит к равенству

ᴛ.ᴇ. в данном частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.

В случае если в уравнении (6.23) v n выразить по Прандтлю через путь перемешивания для импульса L, то для плоского потока получим выражение

, (6.24)

где среднее квадратичное значение v п

а 1 - коэффициент пропорциональности между u n и v п. В случае если принять, что

L / L с = а 2 = сопst, (6.25)

. (6.26)

Следующим шагом в данном направлении является принятие пропорциональности между l с и l ; значение коэффициента пропорциональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объёме и в среде. По имеющимся сведениям, данный коэффициент больше 1; для азота он равен ~, для гелия ~. Имеются попытки оценить l с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затухание турбулентности под действием объёмных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.

Наконец, третий способ определения коэффициента турбулентной диффузии основан на представлении процесса диффузии как случайного движения жидких частиц, первоначально сконцентрированных в некоторой области. Бэтчелор показал, что и в данном случае коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга. Запись его (для случая однородной турбулентности), однако, имеет иной вид:

где у i , y j - лагранжевы координаты жидкой частицы, величины случайные, являющиеся функцией времени.

Представление коэффициента турбулентной диффузии в виде тензора имеет в основном теоретическое значение. Сегодня практически ничего неизвестно о недиагональных компонентах этого тензора. Изученные в какой-либо степени компоненты тензора диффузии - это диагональные компоненты D т xx ,D т yу , D т zz , которые в дальнейшем и будут рассматриваться. Для простоты написания обозначим D т xx = D тх и т.д.

Необходимо отметить, что в общем случае коэффициент турбулентной диффузии является функцией координат. Это можно видеть, к примеру, из уравнения (6.24), где величины dи/dу, v ´ n , l с для потоков в горных выработках являются функциями поперечных координат , а в некоторых случаях (изменение сечения по длине выработки, свободные струи) - и продольной координаты. Эти же величины являются и функциями скорости потока (точнее, числа Рейнольдса - Rе* потока), что говорит о существовании зависимости коэффициента турбулентной диффузии и от числа Rе.

В ряде случаев хорошие результаты получаются, в случае если использовать средние по высоте (ширине) выработки значения коэффициентов турбулентной диффузии.

Коэффициент турбулентной диффузии должна быть рассчитан по характеристике рассеивания газа. Важно заметить, что для случая однородной и изотропной турбулентности в равномерном потоке воздуха (без градиента скорости) распределение содержания газа в газовом факеле за источником газовыделения описывается гауссовой кривой ошибок:

, (6.27)

В случае если в формуле (6.27) с выразить как часть с mах, то из нее можно определить D т . К примеру, полагая с = с mах /2, получим

D т =, (6.28)

где - расстояние от оси газового факела до точки в его поперечном сечении, в которой с = с mах /2.

Все величины в уравнении (6.27) поддаются прямому измерению: и и х измеряют непосредственно на месте эксперимента͵ - по графику зависимости с(у), построенному на основании измерения содержания на расстоянии от источника, равном х.

Известно, что турбулентность шахтных вентиляционных потоков неизотропна; ее можно считать однородной лишь в направлении основного течения (при неизменных форме сечения, шероховатости стен и расходе воздуха). По этой причине для шахтных условий выражение (65.28) дает, во-первых, неточные значения D т и, во-вторых, лишь некоторые средние значения поперечной компоненты тензора D т y . Погрешности будут возрастать по мере приближения источника газа от оси потока к стенке, так как при этом источник попадает в области все большего градиента скорости, ᴛ.ᴇ. все большей анизотропии турбулентности.

Учитывая экспериментальное подтверждение аналогии Рейнольдса для процессов переноса импульса и пассивной примеси при течениях в пристеночной области, коэффициенты диффузии шахтных вентиляционных потоков при диффузии пассивных газов в первом приближении можно принимать равными коэффициенту турбулентного обмена для импульса. Для чисел Рейнольдса от 1,25·10 4 до 3,72·10 4 относительные значения последних для штрекообразной выработки прямоугольного сечения, закрепленной рамной крепью из круглого леса с продольным калибром 7,5, относительной шероховатостью в направлении вертикальной оси 8,9, горизонтальной (перпендикулярной основному движению) 8,4 приведены на графиках рис. 6.1 и 6.2, где y - координата͵ перпендикулярная бокам выработки, z - кровле и почве. Пересчет относительных значений турбулентного обмена импульса в абсолютные производится по формуле ε = ε *v *D , где D - характерный линейный размер потока (к примеру, диаметр). Приведенные на графиках данные соответствуют средним по сечению абсолютным значениям коэффициентов турбулентного обмена для импульса ε у и ε z , порядка 5·10 -3 м 2 /с при средней скорости воздуха в выработке u ср =1 м/с, коэффициенте трения α = 15·10 -3 Н·с 2 /м 4 , плотности воздуха r = = 1,22 кг/м 3 , диаметре выработки D = 2,5 м.

Рис. 6.1. Зависимость от у* = = у/Н (Н - высота выработки)

Рис. 6.2. Зависимость от z* = = z/В (В - ширина выработки)

Значения компоненты D т y ·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:

квершлаг, закрепленный анкерами, площадь поперечного сечения 24,5 м 2 ,

скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с ........................................................2,4÷4,1

то же, площадь поперечного сечения 23 м 2 , скорость воздушной струи 1,1 м/с ........6,8

то же, площадь поперечного сечения 7,5 м 2 , скорость воздушной струи 0,8 м/с …...1,8

Для штрекообразных выработок

; (6.29)

, (6.30)

где , а число Рейнольдса не рассчитывается по .- площадь поперечного сечения выработки, м 2 .

Коэффициент турбулентной диффузии D характеризует рассеивание газа в потоке за счёт работы турбулентных пульсаций. В ряде случаев на перемещения диффундирующего газа налагаются более сильные движения, вызываемые наличием сдвига (градиента) скорости потока. Именно к таким потокам - "потокам со сдвигом" - относятся шахтные вентиляционные потоки.

В 1951 ᴦ. В.Н. Воронин показал, что при движении газового облака по выработке его продольная деформация определяется профилем скоростей. В 1953 ᴦ. Дж. Тэйлор опубликовал решение задачи продольной турбулентной диффузии примеси от мгновенного источника в круглой трубе. Им было показано, что продольное рассеивание примеси, вызываемое градиентом скорости, существенно больше, чем рассеивание, вызываемое турбулентными пульсациями скорости. Дж. Тэйлор предложил оценивать суммарный эффект продольного рассеивания примеси относительно плоскости, движущейся со средней скоростью потока, коэффициентом, который получил название эффективного коэффициента диффузии D

Коэффициент D э должна быть определен в точке или быть усредненным.

; (6.37)

по И.Ф. Ярембашу

. (6.38)

, (6.39)

Рис. 6.3. Графики к определению эффективного коэффициента турбулентной диффузии

Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D э, порядка нескольких м 2 /с.

Дж. Тэйлор и К.Ю. Лайгна, исследуя влияние изогнутости канала на коэффициент диффузии, сделали вывод, что данный фактор может увеличивать D э до двух раз.

Значения k т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.

для основного участка круглой струи

k т = 1÷1,84А ; (6.41)

для основного участка плоской струи

k т = 1÷1,44А´ ;. (6.42)

В приведенных формулах

(6.43)

, (6.44)

Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитанные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.

Приведенные выражения справедливы для свободных струй в неограниченном пространстве. В условиях горных выработок свободные струи часто распространяются в ограниченных объёмах, при этом воздухообмен между струей и окружающим воздухом определяется не только структурой струи, но и структурой воздушных потоков в окружающей ее среде, которая в свою очередь зависит от геометрии ограничивающих поверхностей и их шероховатости и в общем случае отлична от таковой в неограниченных объёмах. В результате коэффициенты турбулентной диффузии струй в ограниченных пространствах отличаются от таковых в неограниченных пространствах. Впервые это было отмечено Ю.М. Первовым, который предложил учитывать его соответствующим изменением коэффициента структуры а.

С учетом п - отношения ширины камеры к ширине выработки, подводящей воздух, согласно Ю.М. Первову:

для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при

n >2,33а = 0,077(n -0,5)(n + 1).

При п < 2,33 коэффициент структуры не зависит от степени ограничения и равняется 0,42;

для струи, выходящей из круглой гладкой трубы, при п > 2,33

а = 0,062 (п -0,5)

При n <2,33 а = 0,034;

для плоской струи при п > 3,12

а = 0,2(n 3/2 - 1,25n + 0,25)/(n 3/2 - 1),

а при п <3,12

а = 0,085 .

Коэффициенты диффузии - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Коэффициенты диффузии" 2017, 2018.

Диффузионный поток вещества i и тепловой поток q возникают в результате наличия в жидкости градиентов концентрации и температуры. Не следует при этом думать, что i зависит только от градиента концентрации, a q - только от градиента температуры. Напротив, каждый из этих потоков зависит, вообще говоря, от обоих указанных градиентов.

Если градиенты температуры и концентрации невелики, то можно считать, что i и q являются линейными функциями от (от градиента давления - при заданных - потоки q и i не зависят по той же причине, которая была уже указана для q в § 49). Соответственно этому напишем i и q в виде линейных функций от градиентов

Между коэффициентами существует простое соотношение, являющееся следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов. Содержание этого общего принципа заключается в следующем (см. V § 120). Рассмотрим какую-нибудь замкнутую систему и пусть - некоторые величины, характеризующие состояние системы. Их равновесные значения определяются тем, что в статистическом равновесии энтропия 5 всей системы должна иметь максимум, т. е. должно быть где обозначают производные:

Предположим, что система находится в состоянии, близком к равновесному. Это значит, что все лишь мало отличаются от своих равновесных значений, а величины малы. В системе будут происходить процессы, стремящиеся привести ее в состояние равновесия. Величины являются при этом функциями времени, а скорость их изменения определяется производными по времени представим последние в виде функций от и разложим эти функции в ряд.

С точностью до членов первого порядка имеем:

Принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера утверждает, что величины (называемые кинетическими коэффициентами) симметричны по индексам а, b:

Скорость изменения энтропии равна

Пусть теперь сами величины различны в разных точках тела, т. е. каждый элемент объема тела должен характеризоваться своими значениями величин Другими словами, будем рассматривать как функции от координат. Тогда в выражении для , кроме суммирования по а, надо произвести также и интегрирование по всему объему системы, т. е.

Что касается зависимости между то обычно можно утверждать, что значения в каждой данной точке системы зависят только от значений величин в этой же точке. Если это условие выполняется, то можно писать связь между для каждой точки в системе, и мы возвращаемся к прежним соотношениям.

В данном случае выберем в качестве величин компоненты векторов i и Тогда из сравнения (58,7) с (59,4) видно, что роль величин будут играть соответственно компоненты векторов Кинетическими же коэффициентами будут являться коэффициенты при этих векторах в равенствах

В силу симметрии кинетических коэффициентов должно быть т. е.

Это и есть искомое соотношение. Мы можем поэтому написать потоки i и q в виде

всего с тремя независимыми коэффициентами: . В выражении для теплового потока удобно исключить градиент выразив его через i и

Сделав это, получим;

где введено обозначение

Если поток вещества i отсутствует, то говорят о чистой теплопроводности. Для того чтобы было должны удовлетворять уравнению или

Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению вида не содержащему в явном виде координат (химический потенциал является функцией не только от с, Т, но и от давления; в равновесии, однако, давление постоянно вдоль тела, и потому мы полагаем ). Это соотношение определяет связь между концентрацией и температурой, которая должна иметь место для отсутствия потока вещества. Далее, при имеем из таким образом, и является не чем иным, как теплопроводностью.

Перейдем теперь к обычным переменным , Т и с. Имеем:

Последний член можно преобразовать, используя термодинамическое соотношение

где - термодинамический потенциал единицы массы, У - удельный объем. Имеем:

Подставив в (59,6) и введя обозначения

получим следующие выражения:

(59,11)

Коэффициент D называют коэффициентом диффузии; он определяет диффузионный поток при наличии одного только градиента концентрации.

Диффузионный же поток, вызываемый градиентом температуры, определяется коэффициентом термодиффузии (безразмерную же величину называют термодиффузионным отношением). В учете последнего члена в (59,11) может возникнуть необходимость лишь при наличии в жидкости существенного градиента давления, вызванного, например, внешним полем. Величину можно назвать коэффициентом бародиффузии-, мы вернемся еще к этой величине в конце параграфа.

В чистой жидкости диффузионный поток, разумеется, отсутствует. Поэтому ясно, что коэффициенты должны обращаться в нуль на обоих пределах: с

Условие возрастания энтропии накладывает определенные ограничения на коэффициенты в формулах (59,6). Подставив эти формулы в выражение (58,7) для скорости изменения энтропии, получим:

Отсюда видно, что наряду с известным уже нам условием должно выполняться также условие Имея в виду, что согласно одному из термодинамических неравенств всегда

(см. V, § 96), мы находим, что должен быть положителен коэффициент диффузии: Величины же могут быть как положительными, так и отрицательными.

Мы не станем выписывать громоздких общих уравнений, получающихся при подстановке полученных здесь выражений для i и q в уравнения (58,3), (58,6). Ограничимся лишь случаем, когда нет никакого существенного градиента давления, а концентрация и температура настолько мало меняются в жидкости, что коэффициенты в выражениях (59,11) и (59,12), являющиеся в общем случае функциями от с и Г, можно считать постоянными. Будем, кроме того, считать, что в жидкости нет никакого макроскопического движения, помимо того, которое может быть вызвано самим наличием градиентов температуры и концентрации. Скорость такого движения будет пропорциональна этим градиентам, и потому в уравнениях (58,3) и (58,6) члены, содержащие скорость, оказываются величинами второго порядка малости и могут быть опущены. Величиной второго порядка является также и член в (58,6). Таким образом, остается

Подставим сюда для i и q выражения (59,11) и (59,12) (без члена с а производную преобразуем следующим образом:

Здесь учтено, что согласно (59,8):

В результате получим после простого преобразования следующие уравнения:

(59,14)

Эта система линейных уравнений определяет распределение температуры и концентрации в жидкости.

В особенности важен случай, когда концентрация смеси мала. При стремлении концентрации к нулю коэффициент диффузии стремится к некоторой конечной постоянной, а коэффициент термодиффузии к нулю. Поэтому при малых концентрациях мало, и в уравнении (59,14) можно пренебречь членом Оно переходит тогда в уравнение диффузии:

Граничные условия для уравнения (59,16) в разных случаях различны. На границе с поверхностью тела, не растворимого в жидкости, должна обращаться в нуль нормальная к поверхности компонента диффузионного потока другими словами, должно быть Если же речь идет о диффузии от тела, растворяющегося в жидкости, то вблизи его поверхности быстро устанавливается равновесие, при котором концентрация в примыкающей к поверхности тела жидкости равна концентрации насыщенного раствора диффузия вещества из этого слоя происходит медленнее, чем процесс растворения. Поэтому граничное условие на такой поверхности гласит: Наконец, если твердая поверхность «поглощает» попадающее на нее диффундирующее вещество, то граничным условием является равенство (с таким случаем приходится, например, иметь дело при изучении химических реакций, происходящих на поверхности твердого тела).

Поскольку уравнения чистой диффузии (59, 16) и теплопроводности имеют одинаковый вид, то все выведенные в §§ 51, 52 формулы могут быть непосредственно перенесены на случай диффузии простой заменой Т на с и на D.

Граничному условию теплоизолированной поверхности соответствует при диффузии условие на нерастворимой твердой поверхности; поверхности же, поддерживаемой при постоянной температуре, соответствует диффузия от поверхности растворяющегося в жидкости тела.

В частности, по аналогии с формулой (51,5) можно написать следующее решение уравнения диффузии:

Оно определяет распределение растворенного вещества в произвольный момент времени, если в начальный момент все вещество было сконцентрировано в бесконечно малом элементе объема жидкости в начале координат (М - полное количество растворенного вещества).

К сказанному в этом параграфе надо сделать важное замечание. Выражения (59,5) или (59,11-12) представляют собой первые неисчезающие члены разложения потоков по производным от термодинамических величин. Как известно из кинетической теории (см. X, §§ 5, 6, 14), такое разложение является, с микроскопической точки зрения, разложением (для газов) по степеням отношения длины свободного пробега молекул газа I к характерной пространственной длине задачи L. Учет членов с производными высших порядков означал бы учет величин более высокого порядка по указанному отношению. Следующими после написанных в (59,5) членов, которые можно образовать из производных от скалярных величин и Т, были бы члены с производными третьего порядка: эти члены заведомо малы по сравнению с уже учтенными в отношении

Единицы измерения диффузии. Большая энциклопедия нефти и газа

Рекомендуем почитать

Поиск по сайту