Математические физики заявили о продвижении в работе над 150-летней теоремой, за доказательство которой Математический институт Клэя предлагает награду в миллион долларов. Ученые представили оператор, который удовлетворяет гипотезе Гильберта-Пойя, гласящей, что существует дифференциальный оператор, чьи собственные значения в точности соответствуют нетривиальным нулям дзета-функции Римана. Статья опубликована в журнале Physical Review Letters.

Гипотеза Римана - одна из «задач тысячелетия», за доказательство которых американский Математический институт Клэя выдает премии в миллион долларов. Гипотеза Пуанкаре (теорема Пуанкаре-Перельмана), которую доказал наш соотечественник , входила именно в этот список. Гипотеза Римана, сформулированная в 1859 году, гласит, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана (то есть значения комплекснозначного аргумента, обращающие функцию в нуль) лежат на прямой ½ + it, то есть их вещественная часть равна ½. Сама дзета-функция возникает во многих разделах математики, например, в теории чисел она связана с количеством простых чисел, меньших заданного.

Теория функций предсказывает, что множество нетривиальных нулей дзета-функции должно быть похоже на множество собственных значений («решений» для матричных уравнений) некоторой другой функции из класса дифференциальных операторов, которые часто используются в физике. Идея о существовании конкретного оператора с такими свойствами получила название гипотезы Гильберта-Пойя, хотя ни тот, ни другой не публиковали работ на эту тему. «Так как публикаций "авторов" на эту тему нет, то формулировка гипотезы меняется в зависимости от интерпретации, - поясняет один из авторов статьи Дорже Броди из лондонского Университета Брунеля. - Однако два пункта должны быть выполнены: а) необходимо найти оператор, чьи собственные значения соответствуют нетривиальным нулям дзета-функции, и б) определить, что собственные значения являются действительными числами. Основной целью нашей работы был пункт а). Для доказательства части б) необходима дальнейшая работа».

Еще одной важной гипотезой в этой области является идея Берри и Китинга, что в случае существования искомого оператора, он будет теоретически соответствовать некоторой квантовой системе с определенными свойствами. «Мы определили условия квантования гамильтониана Берри-Китинга, таким образом, доказывая гипотезу их имени, - добавляет Броди. - Возможно, это разочарует, но полученный гамильтониан, кажется, не соответствует никакой физической системе очевидным образом; по крайней мере, мы не нашли такого соответствия».

Наибольшую сложность представляет доказательство действительности собственных значений. Авторы оптимистично настроены по этому поводу, в статье присутствует подкрепляющий аргумент, основанный на PT-симметрии. Эта идея из физики частиц означает, что при замене всех направлений четырехмерного пространства-времени на обратные, система будет выглядеть так же. Природа в общем случае не PT-симметрична, однако, полученный оператор обладает этим свойством. Как показано в статье, если доказать нарушение этой симметрии для мнимой части оператора, то все собственные значения будут вещественными, таким образом завершая доказательство гипотезы Римана.

Привет, хабралюди!

Сегодня я бы хотел затронуть такую тему как «задачи тысячелетия», которые вот уже десятки, а некоторые и сотни лет волнуют лучшие умы нашей планеты.

После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах? » Пользуясь возможностью, попробую объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.

Равенство классов P и NP

Все мы помним из школы квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P (P olynomial time) - для нее существует быстрый (здесь и далее под словом «быстрый» подразумевается как выполняющийся за полиномиальное время) алгоритм решения, который и заучивается.

Также существуют NP -задачи (N on-deterministic P olynomial time) , найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. Из этого напрашивается логичный вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.

Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.

На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.

В данном случае вопрос стоит все тот же, есть ли такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится.

Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

Гипотеза Ходжа

В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных геометрических объектов. Очевидно, что чем сложнее объект тем более трудоемким становится его изучение. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основная идея которого заключается в том, чтобы вместо самого изучаемого объекта использовать простые «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта.

Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.

Гипотеза Римана

Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2,3,5,7,11...) . С давних времен люди пытаются найти закономерность в их размещении, но удача до сих пор так никому и не улыбнулась. В результате ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например для 4 - 2 простых числа, для 10 - уже 4 числа. Гипотеза Римана как раз устанавливает свойства данной функции распределения.

Многие утверждения о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.

Теория Янга - Миллса

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Одно время теория Янга-Миллса рассматривалась лишь как математический изыск, не имеющий отношения к реальности. Однако, позже теория начала получать экспериментальные подтверждения, но в общем виде она все еще остается не решенной.

На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.

Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса

Течение жидкостей, воздушные потоки, турбулентность. Эти, а также множество других явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса . Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.

Гипотеза Бёрча - Свиннертон-Дайера

Для уравнения x 2 + y 2 = z 2 в свое время еще Эвклид дал полное описание решений, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным, достаточно вспомнить историю доказательства знаменитой теоремы Ферма, чтобы убедиться в этом.

Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени - так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.

В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.

Гипотеза Пуанкаре

Думаю если не все, то большинство точно о ней слышали. Чаще всего встречается, в том числе и на центральных СМИ, такая расшифровка как «резиновую ленту натянутую на сферу можно плавно стянуть в точку, а натянутую на бублик - нельзя ». На самом деле эта формулировка справедлива для гипотезы Тёрстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре, и которую в действительности и доказал Перельман.

Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же как вселенная подобна сфере, подобен обычной кофейной кружке.

Заключение

В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеющими странный вид и говорящие о не менее странных вещах. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика ненужная наука, что после школы/института, она нигде не пригодилась в жизни.

Но на самом деле это не так - математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.

Гипотеза Римана доказана?

Математик из Университета Пурду утверждает, что он получил доказательство гипотезы Римана, которую часто называют величайшей нерешенной математической задачей. Хотя работа этого математика еще должна пройти процедуру рецензирования.

На этой неделе профессор математики Школы естественных наук Пурду, лауреат премии Эдварда Эллиотта Луи де Бранж опубликовал 23-страничный труд со своим доказательством. Обычно математики объявляют о таких достижениях на конференциях или в научных журналах. Однако за доказательство гипотезы Римана назначен приз в $1 млн, поэтому он решил поспешить с публикацией. «Я приглашаю других математиков проверить мои выкладки, - говорит де Бранж в подготовленном заявлении. - Со временем я передам свое доказательство для официальной публикации, но ввиду обстоятельств я чувствую необходимость немедленно опубликовать свою работу в интернете».

Гипотеза относится к распределению простых чисел. Простые числа делятся только на самих себя и на единицу. В числе прочих задач простые числа используются для шифрования. В начале этого месяца было подтверждено, что обнаружено самое большое известное на сегодняшний день простое число, которое выражается двойкой в степени 24036583 за вычетом единицы и записывается 7235733 десятичными цифрами.

Как и решения многих других математических проблем, доказательство гипотезы Римана вряд ли найдет немедленное коммерческое применение, но через десятилетие его использование вполне вероятно.

Истоки гипотезы восходят к 1859 году, когда математик Бернхард Риман предложил теорию о распределении простых чисел, но в 1866 году он умер, так и не успев завершить ее доказательство. С тех пор за решение задачи брались многие. В частности, ее пытался решить Джон Нэш, математик, лауреат Нобелевской премии по экономике, история жизни которого положена в основу сюжета книги и кинофильма A Beautiful Mind («Игры разума»). В 2001 году математический институт Clay Mathematics Institute в Кембридже, штат Массачусетс, объявил за доказательство гипотезы премию в $1 млн.

Де Бранж, пожалуй, наиболее известен решением другой технической проблемы из области математики: 20 лет назад он доказал теорему Бибербаха. С тех пор ученый почти целиком посвятил себя проверке гипотезы Римана.

Предыдущие публикации:

Обсуждение и комментарии

	нц 10 Jun 2004 12:21 PM
Респект человеку, по крайней мере за то, что он пытается делать.
	Хохол 10 Jun 2004 12:24 PM
Да, нобелевка по математике это круто!!!
	torvic 10 Jun 2004 1:06 PM
"математик, обладатель Нобелевской премии" [по экономике]
	Yuri Abele 10 Jun 2004 1:17 PM
To Хохол: Джон Нэш - это действительно один из величайших математиков современности. Велик не замороченностью каких-нибудь математических вычислений, а тем вкладом, который его работа по теории игр внесла в мировую экономику. Она практически перевернула современную экономику. Если в двух словах, то он математически доказал, что конкурентам выгоднее, как это не парадоксально, сотрудничать а не конкурировать
	Maverik 10 Jun 2004 1:37 PM
2 torvic > Джон Наш, нобелевский лауреат по математике Это оригинал. Я сам чуть со стула не упал! Видно, редакоторам zdnet давно зарплату не повышали. Я уж не говорю о "гепотизе", которая светит в аннотации. Да не, тут прикол именно в том, что нобелевка по математике уже давно является бородатым историческим анекдотом.
	Qrot 10 Jun 2004 1:41 PM
> *Гипотеза* Римана доказана > доказательство *гепотизы* Римана помнится, наша учительница по русскому языку засчитывала подобное за двойную ошибку. > ... к 1859 году, когда математик Бернхард Риман предложил > теорию... в 1966 году он умер он что у вас, горец? в оригинале "but he died in 1866" тут редактор кроме сисадмина по вызову есть вообще?
	Qrot 10 Jun 2004 1:44 PM
Nobel Prize-winning mathematician != нобелевский луреат по математике. надмозги переводили?
	Maverik 10 Jun 2004 1:48 PM
Насчет даты смерти я не обратил внимания. :-) Респект!
	Михаил Елашкин - imhoelashkin.com 10 Jun 2004 2:07 PM
2 Qrot >надмозги переводили? О, вижу внимательного читателя Гоблина. Привет собрату:)
	Matros 10 Jun 2004 2:22 PM
2 Qrot: Это не надмозги, это безмозги. :)
	And 10 Jun 2004 3:22 PM
2 Yuri Abele. По-моему, совершенно очевидно, что конкурентам выгоднее сотрудничать, а не конкурировать. По-моему, такое сотрудничество имеет даже специальные названия, типа "ценовой сговор". И с таким сотрудничеством пытаются бороться всякие антимонопольные органы.
	Qrot 10 Jun 2004 4:23 PM
Михаил Елашкин: салют камраду! :)
	Yuri 10 Jun 2004 6:32 PM
Ну и знайтный же бред тут понаписали! Лажа чуть ли не в каждом слове. Это специально постараться - и то не сразу такое придумаешь. Гипотеза Римана, конечно, связана с распределением простых чисел (точно так же, как и еще со множеством других интереснейших вопросов), но пытаться объяснить ее суть, начиная с понятия простого числа - это чего-то особенного:-) А уж какое отношение к гипотезе Римана имеет обнаружение очередного простого числа, и тем более какую коммерческую выгоду можно было бы извлечь из этого доказательства, хотя бы даже и через сотни лет - это вообще загадка для пытливого ума:-)
	bravomail 10 Jun 2004 7:09 PM
коммерческая выгода одна - легкость ломки современных шифров
	Yuri 10 Jun 2004 7:29 PM
> коммерческая выгода одна - легкость ломки современных шифров Она _абсолютно_ не зависит не только от того, доказана или нет гипотеза Римана, но даже и от того, верна ли она вообще.
	Ks 10 Jun 2004 8:57 PM
Вообще говоря, гипотеза Римана касается нулей дзета-фнукции Римана, и уж если и используется в теории распределения простых чисел, то совсем неочевидным образом. Скажем так - постулат Бертрана доказывается с использованием этой самой дзета-функции, но вполне без этой гипотезы.
	Nobody 10 Jun 2004 10:51 PM
Nobel to Lunix! Windows must die!
	done 10 Jun 2004 11:24 PM
2YuriВ что Вы толкового принести в наше сообщество??
	C3Man 12 Jun 2004 4:44 AM
APOLOGY FOR THE PROOF OF THE RIEMANN HYPOTHESIS?
	Алекс 13 Jun 2004 6:15 PM
Ранее де Бранжес (это профессор, который утверждает, что доказал гипотезу Римана) доказал теорему типа -- если верно некое условие, то верна и гипотеза Римана. Потом выяснилось, что его условие не верно. В том, что висит в Инете доказательства гипотезы Римана нету (а вы бы повесили в инете 1M$?), там есть его извинения перед коллегами, о том, что его доказательство может спутать им планы исследований, его путь к доказательству и то, что бы он сделал с 1M$. В свое время Гильберт сказал, что если бы он проспал 500 лет, а потом проснулся, то первым делом он бы спросил, доказана ли гипотеза Римана.
	Алекс 14 Jun 2004 3:22 AM
Виноват, он действительно выложил доказательство. Только не на 24х страницах как вначале сообщалось, а на 124х. Мужику 72 года, а есть еще порох в пороховницах и ягоды в ягодицах.
	Вlack ibm.* 16 Jun 2004 12:05 PM
А вообще математика хороша тем что в не "КАК много может сделать " одиночка- сиди и ковыряй. про другие науки так не скажешь. ДАЖе теоритеическа физика где не нужны дорогостоящие эсперементы.. Сильно связана с эсперементаторами.. ТЕ ТЕОРФИЗИКИ только для эсперементаторов и работали(Ланндау ДА гений одиночка. НО достиг бы он такого релуьзата не взяы бы его Капица?) .. ну разве что особняком стоит Эейнштейн. МОЛОДЕЦ МУЖИК.
	Николай 13 Oct 2006 2:34 PM
Несколько год назад я "доказывал" Большую Теорему Ферма.Был ооочень рад,а потом...нашол ошибку!Уверен ли господин де Бранжес в том,что нашел настоящее доказательство?Я-нет!

Математической науки. Работа над ними оказала колоссальное влияние на развитие этой области человеческого знания. Спустя 100 лет Математический институт Клэя представил список из 7 проблем, известных как задачи тысячелетия. За решение каждой из них была предложена премия в 1 миллион долларов.

Единственной задачей, которая оказалась в числе обоих перечней головоломок, уже не одно столетие не дающих покоя ученым, стала гипотеза Римана. Она еще ждет своего решения.

Краткая биографическая справка

Георг Фридрих Бернхард Риман родился в 1826 году в Ганновере, в многодетной семье бедного пастора, и прожил всего 39 лет. Ему удалось опубликовать 10 трудов. Однако уже при жизни Риман считался преемником своего учителя Иоганна Гаусса. В 25 лет молодой ученый защитил диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной». Позже он сформулировал свою гипотезу, ставшую знаменитой.

Простые числа

Математика появилась, когда человек научился считать. Тогда же возникли первые представления о числах, которые позже попытались классифицировать. Было замечено, что некоторые из них обладают общими свойствами. В частности, среди натуральных чисел, т. е. таких, которые использовались при подсчете (нумерации) или обозначении количества предметов, была выделена группа таких, которые делились только на единицу и на самих себя. Их назвали простыми. Изящное доказательство теоремы бесконечности множества таких чисел дал Евклид в своих «Началах». На данный момент продолжается их поиск. В частности, самым большим из уже известных является число 2 74 207 281 - 1.

Формула Эйлера

Наряду с понятием о бесконечности множества простых чисел Евклид определил и вторую теорему о единственно возможном разложении на простые множители. Согласно ей любое целое положительное число является произведением только одного набора простых чисел. В 1737 году великий немецкий математик Леонард Эйлер выразил первую теорему Евклида о бесконечности в виде формулы, представленной ниже.

Она получила название дзета-функции, где s — константа, а p принимает все простые значения. Из нее напрямую следовало и утверждение Евклида о единственности разложения.

Дзета-функция Римана

Формула Эйлера при ближайшем рассмотрении является совершенно удивительной, так как задает отношение между простыми и целыми числами. Ведь в ее левой части перемножаются бесконечно много выражений, зависящих только от простых, а в правой расположена сумма, связанная со всеми целыми положительными числами.

Риман пошел дальше Эйлера. Для того чтобы найти ключ к проблеме распределения чисел, он предложил определить формулу как для действительной, так и для комплексной переменной. Именно она впоследствии получила название дзета-функции Римана. В 1859 году ученый опубликовал статью под заголовком «О количестве простых чисел, которые не превышают заданной величины», где обобщил все свои идеи.

Риман предложил использовать ряд Эйлера, сходящийся для любых действительных s>1. Если ту же формулу применяют для комплексных s, то ряд будет сходиться при любых значениях этой переменной с действительной частью больше 1. Риман применил процедуру аналитического продолжения, расширив определение zeta(s) на все комплексные числа, но «выбросив» единицу. Она была исключена, потому что при s = 1 дзета-функция возрастает в бесконечность.

Практический смысл

Возникает закономерный вопрос: чем интересна и важна дзета-функция, которая является ключевой в работе Римана о нулевой гипотезе? Как известно, на данный момент не выявлено простой закономерности, которая бы описывала распределение простых чисел среди натуральных. Риману удалось обнаружить, что число pi(x) простых чисел, которые не превосходили x, выражается посредством распределения нетривиальных нулей дзета-функции. Более того, гипотеза Римана является необходимым условием для доказательства временных оценок работы некоторых криптографических алгоритмов.

Гипотеза Римана

Одна из первых формулировок этой математической проблемы, не доказанной и по сей день, звучит так: нетривиальные 0 дзета-функции — комплексные числа с действительной частью равной ½. Иными словами они расположены на прямой Re s = ½.

Существует также обобщенная гипотеза Римана, представляющая собой то же утверждение, но для обобщений дзета-функций, которые принято называть L-функциями Дирихле (см. фото ниже).

В формуле χ(n) — некоторый числовой характер (по модулю k).

Римановское утверждение считается так называемой нулевой гипотезой, так как была проверена на согласованность с уже имеющимися выборочными данными.

Как рассуждал Риман

Замечание немецкого математика изначально было сформулировано достаточно небрежно. Дело в том, что на тот момент ученый собирался доказать теорему о распределении простых чисел, и в этом контексте данная гипотеза не имела особого значения. Однако ее роль при решении многих других вопросов огромна. Именно поэтому предположение Римана на данный момент многими учеными признается важнейшей из недоказанных математических проблем.

Как уже было сказано, для доказательства теоремы о распределении полная гипотеза Римана не нужна, и достаточно логически обосновать, что действительная часть любого нетривиального нуля дзета-функции находится в промежутке от 0 до 1. Из этого свойства следует, что сумма по всем 0-м дзета-функции, которые фигурируют в точной формуле, приведенной выше, — конечная константа. Для больших значений x она вообще может потеряться. Единственным членом формулы, который останется неизменным даже при очень больших x, является сам x. Остальные сложные слагаемые в сравнении с ним асимптотически пропадают. Таким образом, взвешенная сумма стремится к x. Это обстоятельство можно считать подтверждением истинности теоремы о распределении простых чисел. Таким образом, у нулей дзета-функции Римана появляется особая роль. Она заключается в том, чтобы значения не могут внести существенного вклада в формулу разложения.

Последователи Римана

Трагическая смерть от туберкулеза не позволила этому ученому довести до логического конца свою программу. Однако от него приняли эстафету Ш-Ж. де ла Валле Пуссен и Жак Адамар. Независимо друг от друга ими была выведена теорема о распределении простых чисел. Адамару и Пуссену удалось доказать, что все нетривиальные 0 дзета-функции находятся в пределах критической полосы.

Благодаря работе этих ученых появилось новое направление в математике — аналитическая теория чисел. Позже другими исследователями было получено несколько более примитивных доказательств теоремы, над которой работал Риман. В частности, Пал Эрдеш и Атле Сельберг открыли даже подтверждающую ее весьма сложную логическую цепочку, не требовавшую использования комплексного анализа. Однако к этому моменту посредством идеи Римана уже было доказано несколько важных теорем, включая аппроксимацию многих функций теории чисел. В связи с этим новая работа Эрдеша и Атле Сельберга практически ни на что не повлияла.

Одно из самых простых и красивых доказательств проблемы было найдено в 1980 году Дональдом Ньюманом. Оно было основано на известной теореме Коши.

Угрожает ли римановская гипотеза основам современной криптографии

Шифрование данных возникло вместе с появлением иероглифов, точнее, они сами по себе могут считаться первыми кодами. На данный момент существует целое направление цифровой криптографии, которое занимается разработкой

Простые и «полупростые» числа, т. е. такие, которые делятся только на 2 других числа из этого же класса, лежат в основе системы с открытым ключом, известной как RSA. Она имеет широчайшее применение. В частности, используется при генерировании электронной подписи. Если говорить в терминах, доступных «чайникам», гипотеза Римана утверждает существование системы в распределении простых чисел. Таким образом, значительно снижается стойкость криптографических ключей, от которых зависит безопасность онлайн-транзакций в сфере электронной коммерции.

Другие неразрешенные математические проблемы

Закончить статью стоит, посвятив несколько слов другим задачам тысячелетия. К их числу относятся:

• Равенство классов P и NP. Задача формулируется так: если положительный ответ на тот или иной вопрос проверяется за полиномиальное время, то верно ли, что и сам ответ на этот вопрос можно найти быстро?
• Гипотеза Ходжа. Простыми словами ее можно сформулировать так: для некоторых типов проективных алгебраических многообразий (пространств) циклы Ходжа являются комбинациями объектов, которые имеют геометрическую интерпретацию, т. е. алгебраических циклов.
• Гипотеза Пуанкаре. Это единственная из доказанных на данный момент задач тысячелетия. Согласно ей любой 3-мерный объект, обладающий конкретными свойствами 3-мерной сферы, обязан являться сферой с точностью до деформации.
• Утверждение квантовой теории Янга — Миллса. Требуется доказать, что квантовая теория, выдвинутая этими учеными для пространства R 4 , существует и имеет 0-й дефект массы для любой простой калибровочной компактной группы G.
• Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера. Это еще одна проблема, имеющая отношение к криптографии. Она касается элиптических кривых.
• Проблема о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса.

Теперь вам известна гипотеза Римана. Простыми словами мы сформулировали и некоторые из других задач тысячелетия. То, что они будут решены либо будет доказано, что они не имеют решения, — это вопрос времени. Причем вряд ли этого придется ждать слишком долго, так как математика все больше использует вычислительные возможности компьютеров. Однако не все подвластно технике, и для решения научных проблем прежде всего требуется интуиция и творческий подход.

Ответ редакции

Профессор Оксфордского, Кембриджского и Эдинбургского университетов, а также лауреат почти десятка престижных премий в области математики Майкл Фрэнсис Атья представил доказательство гипотезы Римана , одной из семи «проблем тысячелетия», которая описывает, как расположены на числовой прямой простые числа.

Доказательство Атьи небольшое, вместе с введением и списком литературы оно занимает пять страниц. Ученый утверждает, что нашел решение гипотезы, анализируя проблемы, связанные с постоянной тонкой структуры, а в качестве инструмента использовал функцию Тодда. Если научное сообщество сочтет доказательство корректным, то за него британец получит $1 млн от Института математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс).

На приз претендуют также другие ученые. В 2015 году о решении гипотезы Римана заявлял профессор математики Опиеми Энох (Opeyemi Enoch) из Нигерии, а в 2016 году свое доказательство гипотезы представил российский математик Игорь Турканов . По словам представителей Института математики, для того чтобы достижение было зафиксировано, его необходимо опубликовать в авторитетном международном журнале с последующим подтверждением доказательства научным сообществом.

В чем суть гипотезы?

Гипотезу еще в 1859 году сформулировал немецкий математик Бернхард Риман . Он определил формулу, так называемую дзета-функцию, для количества простых чисел до заданного предела. Ученый выяснил, что нет никакой закономерности, которая бы описывала, как часто в числовом ряду появляются простые числа, при этом он обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x , выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.

Риман был уверен в правильности выведенной формулы, однако он не мог установить, от какого простого утверждения полностью зависит это распределение. В результате он выдвинул гипотезу, которая заключается в том, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ½, и лежат на вертикальной линии Re=0,5 комплексной плоскости.

Доказательство или опровержение гипотезы Римана очень важно для теории распределения простых чисел, говорит аспирант факультета математики Высшей школы экономики Александр Калмынин . «Гипотеза Римана — это утверждение, которое эквивалентно некоторой формуле для количества простых чисел, не превосходящих данное число x . Гипотеза, например, позволяет достаточно быстро и с большой точностью посчитать количество простых чисел, не превосходящих, к примеру, 10 млрд. Это не единственная ценность гипотезы, потому что у нее есть еще целый ряд довольно далеко идущих обобщений, которые известны как обобщенная гипотеза Римана, расширенная гипотеза Римана и большая гипотеза Римана. Они имеют еще большее значение для разных разделов математики, но в первую очередь важность гипотезы определяется теорией простых чисел», — говорит Калмынин.

По словам эксперта, при помощи гипотезы можно решать ряд классических задач теории чисел: задачи Гаусса о квадратичных полях (проблема десятого дискриминанта), задачи Эйлера об удобных числах, гипотезу Виноградова о квадратичных невычетах и т. д. В современной математике данной гипотезой пользуются для доказательства утверждений о простых числах. «Мы сразу предполагаем, что верна какая-то сильная гипотеза типа гипотезы Римана, и смотрим, что получается. Когда у нас это получается, то мы задаемся вопросом: можем ли мы это доказать без предположения гипотезы? И, хотя такое утверждение пока за пределами того, чего мы можем достигнуть, оно работает как маяк. За счет того, что есть такая гипотеза, мы можем смотреть, куда нам двигаться», — говорит Калмынин.

Доказательство гипотезы также может повлиять на совершенствование информационных технологий, поскольку процессы шифрования и кодирования сегодня зависят от эффективности разных алгоритмов. «Если мы возьмем два простых больших числа по сорок знаков и перемножим, то у нас получится большое восьмидесятизначное число. Если поставить задачу разложить это число на множители, то это будет очень сложная вычислительная задача, на основе которой как раз построены многие вопросы информационной безопасности. Все они заключаются в создании разных алгоритмов, которые завязаны на сложностях подобного рода», — говорит Калмынин.