Si të gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në një zonë të kufizuar të mbyllur? Gjetja e funksionit më të madh dhe më të vogël të funksionit në segment.

Algoritmi standard për zgjidhjen e detyrave të tilla nënkupton pas gjetjes së zeros të funksionit, duke përcaktuar shenjat e derivativit në intervale. Pastaj llogaritja e vlerave në pikat e gjetura të maksimumit (ose minimale) dhe në kufirin e intervalit, në varësi të së cilës çështja është në gjendje.

Unë ju këshilloj që të bëni pak ndryshe. Pse? Shkroi për këtë.

Unë propozoj për të zgjidhur detyrat e tilla si më poshtë:

1. Gjeni një derivativ.
2. Gjeni derivativ zeros.
3. Përcaktoni se cili prej tyre i përkasin kësaj intervali.
4. Llogaritni vlerat e funksionit në kufijtë dhe pikat e pretendimit 3.
5. Ne përfundojmë (duke iu përgjigjur pyetjes).

Gjatë zgjidhjes së shembujve të paraqitur, zgjidhja e ekuacioneve katrore nuk konsiderohet në detaje, duhet të jetë në gjendje të bëjë. Gjithashtu duhet të di.

Konsideroni shembuj:

77422. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y \u003d x 3 -3x + 4 në segmentin [-2; 0].

Ne gjejmë derivativ zeros:

Intervali i specifikuar në gjendje i përket pikës x \u003d -1.

Llogaritni vlerat e funksionit në pikat -2, -1 dhe 0:

Vlera më e madhe e funksionit është 6.

Përgjigje: 6.

77425. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 në segment.

Gjeni një derivat të një funksioni të dhënë:

Ne gjejmë derivativ zeros:

Intervali i specifikuar në gjendje i përket pikës x \u003d 2.

Llogaritni vlerat e funksionit në pikat 1, 2 dhe 4:

Vlera më e vogël e funksionit është -2.

Përgjigje: -2.

77426. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y \u003d x 3 - 6x 2 në segmentin [-3; 3].

Gjeni një derivat të një funksioni të dhënë:

Ne gjejmë derivativ zeros:

Intervali i specifikuar në gjendje i përket POINT X \u003d 0.

Llogaritni vlerat e funksionit në pikat -3, 0 dhe 3:

Vlera më e vogël e funksionit është 0.

Përgjigje: 0.

77429. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y \u003d x 3 - 2x 2 + x +3 në segment.

Gjeni një derivat të një funksioni të dhënë:

3x 2 - 4x + 1 \u003d 0

Ne marrim rrënjët: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Intervali i specifikuar në gjendje i takon vetëm x \u003d 1.

Gjeni vlerat e funksionit në pikat 1 dhe 4:

Pranuar se vlera më e vogël e funksionit është 3.

Përgjigje: 3.

77430. Gjeni vlerën më të lartë të funksionit y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 në segmentin [- 4; - një].

Gjeni një derivat të një funksioni të dhënë:

Ne do të gjejmë derivativin e derivativit, zgjidhjen e ekuacionit katror:

3x 2 + 4x + 1 \u003d 0

Ne marrim rrënjët:

Intervali i specifikuar në gjendje zotëron rrënjën x \u003d -1.

Ne gjejmë vlerat e funksionit në pikat -4, -1, -1/3 dhe 1:

Pranoi se vlera më e madhe e funksionit është 3.

Përgjigje: 3.

77433. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 në segmentin.

Gjeni një derivat të një funksioni të dhënë:

Ne do të gjejmë derivativin e derivativit, zgjidhjen e ekuacionit katror:

3x 2 - 2x - 40 \u003d 0

Ne marrim rrënjët:

Intervali i specifikuar në gjendje zotëron rrënjën x \u003d 4.

Ne gjejmë vlerat e funksionit në pikat 0 dhe 4:

Pranoi se vlera më e vogël e funksionit është -109.

Përgjigje: -109

Konsideroni një metodë për përcaktimin e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve pa një derivativ. Kjo qasje mund të përdoret nëse keni probleme të mëdha me përkufizimin e derivativit. Parimi është i thjeshtë - për funksionin që i zëvendësojmë të gjithë integers nga intervali (fakti është se në të gjitha prototipat e tilla përgjigja është një numër i plotë).

77437. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y \u003d 7 + 12x-x 3 në segmentin [-2; 2].

Ne zëvendësojmë pikat nga -2 në 2: Shikoni vendimin

77434. Vendosni vlerën më të madhe të funksionit y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 në segmentin [-2; 0].

Kjo eshte e gjitha. Suksesi për ju!

Sinqerisht, Alexander Krutitsky.

P.S: Unë do të jem mirënjohës nëse tregoni për vendin në rrjetet sociale.

Le të shohim se si të eksplorojmë funksionin duke përdorur grafikun. Rezulton se shikon orarin, mund të zbuloni gjithçka që na intereson, domethënë:

• zona e definicionit të funksionit
• zona e vlerave të funksionit
• funksion zero
• boshllëqet e rritjes dhe zbritjes
• pikat maksimale dhe minimale
• vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit në segment.

Sqaroni terminologjinë:

Absissa - Ky është koordinata horizontale.
Urdhëresë - Koordinate vertikale.
Aks abscissa - Aksi horizontal, më shpesh i quajtur boshti.
Boshti ordinate - aks vertikal, ose aks.

Argument - një ndryshore e pavarur në të cilën varen vlerat e funksionit. Më shpesh tregohet.
Me fjalë të tjera, ne vetë zgjedhim, zëvendësojmë funksionin në formulën dhe marrim.

Fushë Funksionet janë një grup i atyre (dhe vetëm atyre) të vlerave të argumentit, në të cilin ekziston funksioni.
Të përcaktuara: ose.

Në figurën tonë, zona e definicionit në terren është një segment. Është në këtë segment që një funksion është tërhequr. Vetëm këtu ekziston ky funksion.

Zona e vlerave të funksionit - Kjo është një grup vlerash që marrin variablin. Në figurën tonë është një segment - nga vlera më e ulët deri në vlerën më të lartë.

Funksion zero - Pikat ku vlera e funksionit është zero, domethënë. Në vizatimin tonë është pikë dhe.

Vlerat e funksionit janë pozitive ku. Në vizatimin tonë, këto janë boshllëqe dhe.
Vlerat e funksionit janë negative ku. Ne kemi këtë hendek (ose interval) nga to.

Konceptet më të rëndësishme - ngritja dhe ulja e funksionit Në një grup. Ju mund të merrni një segment, interval, integrim të boshllëqeve ose të gjithë numerike të drejtpërdrejtë.

Funksion rritet

Me fjalë të tjera, aq më shumë, aq më shumë, domethënë, orari shkon në të djathtë dhe lart.

Funksion ul Në grup, nëse për ndonjë dhe në pronësi të grupit, pabarazia ndjek pabarazinë.

Për funksionim në rënie, një vlerë më e madhe korrespondon me një vlerë më të vogël. Orari shkon në të djathtë dhe poshtë.

Në figurën tonë, funksioni rritet në intervalin dhe zvogëlohet në intervale dhe.

Ne përcaktojmë se çfarë pika maksimale dhe funksionimi minimal.

Pikë maksimale - Kjo është pika e brendshme e zonës përkufizuese, e tillë që vlera e funksionit në të është më e madhe se në të gjitha pikat afër tij.
Me fjalë të tjera, pika maksimale është një pikë e tillë, vlera e funksionit në të cilën më shumësesa në fqinjë. Ky është një "holmik" lokal në tabelë.

Në vizatimin tonë - pika e maksimumit.

Pikë minimale - Pika e brendshme e zonës përkufizuese, e tillë që vlera e funksionit në të është më pak se në të gjitha pikat afër tij.
Kjo është, një pikë minimale është e tillë që vlera e funksionit në të është më pak se në fqinjë. Në orar është një "fossa" lokale.

Në vizatimin tonë - një pikë minimale.

Pika është një kufi. Nuk është një pikë e brendshme e zonës përkufizim dhe për këtë arsye nuk i përshtatet përkufizimit të një pikë maksimale. Në fund të fundit, ajo nuk ka fqinjë në të majtë. Në mënyrë të ngjashme, në orarin tonë nuk mund të ketë asnjë pikë minimale.

Pikat maksimale dhe minimale quhen pikat e funksionit ekstrem. Në rastin tonë, është.

Dhe çfarë duhet të bëni nëse keni nevojë për të gjetur, për shembull, funksioni minimal Në segment? Në këtë rast, përgjigja :. Sepse funksioni minimal - Kjo është vlera e saj në një pikë minimale.

Në mënyrë të ngjashme, maksimumi i funksionit tonë është i barabartë. Ajo arrihet në pikën.

Mund të thuhet se ekstremet e funksionit janë të barabarta dhe.

Nganjëherë në detyra ju duhet të gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit Në një segment të caktuar. Ata nuk përputhen domosdoshmërisht me ekstreme.

Në rastin tonë kuptimi më i vogël i funksionit Në segment është e barabartë dhe përkon me funksionin minimal. Por vlera e saj më e madhe në këtë segment është e barabartë. Ajo arrihet në fundin e majtë të segmentit.

Në çdo rast, vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit të vazhdueshëm në segment arrihen ose në pikat ekstrem, ose në skajet e segmentit.

Në praktikë, është mjaft e nevojshme për të përdorur një derivativ për të llogaritur vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit. Ne e kryejmë këtë veprim kur të mësojmë se si të minimizojmë kostot, të rrisim fitimet, të llogarisim ngarkesën optimale në prodhim etj., Kjo është, në rastet kur duhet të përcaktoni vlerën optimale të çdo parametri. Për të zgjidhur këto detyra të sakta, është e nevojshme të kuptohet mirë se çfarë vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Zakonisht i përcaktojmë këto vlera brenda një intervali X të caktuar, i cili mund të korrespondojë me të gjithë fushën e përcaktimit të funksionit ose pjesës së tij. Kjo mund të jetë si një segment [a; b] dhe një interval i hapur (a, b), (a, b], [a; b), një interval i pafund (a; b), (a; b], [a; b) ose një hendek i pafund - ∞ ; A, (- ∞; a], [a, + ∞), (- ∞; + ∞).

Në këtë material, ne do të përshkruajmë se si vlerësohet vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni të specifikuar në mënyrë eksplicite me një variabël y \u003d f (x) y \u003d f (x) llogaritet.

Përkufizimet kryesore

Le të fillojmë, si gjithmonë, me formulimin e përkufizimeve bazë.

Përkufizimi 1.

Vlera më e madhe e funksionit y \u003d f (x) në një hendek është maxy \u003d f (x 0) x ∈ x, e cila, me ndonjë kuptim xx ∈ x, x ≠ x 0 bën pabarazinë f (x) ≤ f ( x 0).

Përkufizimi 2.

Vlera më e vogël e funksionit y \u003d f (x) në një hendek është një minx ∈ xy \u003d f (x 0), e cila, me çdo vlerë x ∈ x, x ≠ x 0 bën pabarazinë f (x f (x) ≥ f (x 0).

Këto përkufizime janë mjaft të dukshme. Është edhe më e lehtë të thuhet kështu: vlera më e madhe e funksionit është vlera më e madhe në intervalin e njohur në abscissa x 0, dhe më i vogli është vlera më e vogël në të njëjtën interval në x 0.

Përkufizimi 3.

Pikat e palëvizshme janë vlerat e argumentit të funksionit, në të cilin derivativi i saj i referohet 0.

Pse duhet të dimë se çfarë pike deponish? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet të mbani mend teoremen e fermës. Rrjedhimisht, një pikë e palëvizshme është një pikë e tillë në të cilën ndodhet ekstremja e funksionit të diferencuar (që është, minimumi ose maksimumi i saj lokal). Rrjedhimisht, funksioni do të marrë më të voglin ose më e rëndësishmja në një interval në një nga pikat e palëvizshme.

Një tjetër funksion mund të marrë vlerën më të madhe ose më të vogël në ato pika në të cilat vetë funksioni është përcaktuar, dhe derivativi i tij i parë nuk ekziston.

Pyetja e parë që ndodh kur studion këtë temë: në të gjitha rastet, a mund të përcaktojmë vlerën më të madhe ose më të vogël të funksionit në një segment të caktuar? Jo, nuk mund ta bëjmë këtë kur kufijtë e hendekut të specifikuar do të përputhen me kufijtë e zonës përkufizuese, ose nëse kemi të bëjmë me një interval të pafund. Gjithashtu ndodh që funksioni në një segment të caktuar ose në pafundësi do të jetë pafundësisht i vogël ose pafundësisht vlera të mëdha. Në këto raste, nuk është e mundur të përcaktohet vlera më e madhe dhe / ose më e vogël.

Më të kuptueshme këto momente do të jenë pas imazhit në oraret:

Vizatimi i parë na tregon një funksion që merr vlerat më të mëdha dhe më të vogla (m një x dhe m i n y) në pikat e stacionare të vendosura në segmentin [- 6; 6].

Ne analizojmë në detaje rastin e specifikuar në tabelën e dytë. Ndryshoni vlerën e segmentit në [1; 6] Dhe ne marrim se vlera më e madhe e funksionit do të arrihet në pikën me abscissa në kufirin e duhur të intervalit, dhe më të vogël - në pikën e palëvizshme.

Në vizatimin e tretë të abscissa, pikat janë pikat kufitare të segmentit [- 3; 2]. Ata korrespondojnë me vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit të specifikuar.

Tani shikoni në vizatimin e katërt. Në të, funksioni merr m një x y (vlera më e madhe) dhe m i n y (vlera më e vogël) në pikat e palëvizshme në intervalin e hapur (- 6; 6).

Nëse marrim intervalin [1; 6), mund të thuhet se vlera më e vogël e funksionit në të do të arrihet në një pikë të palëvizshme. Do të jetë e panjohur si vlera më e madhe. Funksioni mund të marrë vlerën më të lartë në x, të barabartë me 6, nëse x \u003d 6 i përkiste intervalit. Ky rast është tërhequr në grafikun 5.

Në Grafikun 6, vlera më e vogël e këtij funksioni fiton në kufirin e duhur të intervalit (- 3; 2], dhe ne nuk mund të bëjmë përfundime të caktuara për vlerën më të madhe.

Në figurën 7, ne shohim se funksioni do të ketë m një x y në një pikë të palëvizshme që ka një abscissa të barabartë me 1. Funksioni më i vogël do të arrijë në kufirin e intervalit në anën e djathtë. Në minus pafundësi, vlerat e funksionit do të jenë duke u afruar asimptotikisht në y \u003d 3.

Nëse marrim intervalin X ∈ 2; + ∞, ne do të shohim se funksioni i specifikuar nuk do të marrë atë vlerën më të vogël ose më të madhe. Nëse X përpiqet për 2, vlerat e funksionit do të përpiqen për minus pafundësi, që nga linja e drejtë x \u003d 2 është një asimptua vertikale. Nëse abscissa tenton të plus pafundësi, atëherë vlerat e funksionit do të jenë të afrohen asimptotikisht y \u003d 3. Ky rast është paraqitur në figurën 8.

Në këtë pikë, ne paraqesim një sekuencë veprimi që duhet të kryhen për të gjetur vlerën më të madhe ose më të vogël të funksionit në një segment.

1. Për të filluar, gjejmë zonën e definicionit në terren. Kontrolloni nëse ato janë të përfshira në gjendjen e segmentit.
2. Tani ne llogarisim pikat e përmbajtura në këtë segment, në të cilin nuk ka derivat të parë. Më shpesh, ato mund të gjenden në funksionet, argumenti i të cilave regjistrohet nën shenjën e modulit, ose në funksionet e fuqisë, treguesi i të cilave është një numër racional i pjesshëm.
3. Tjetra, zbuloni se cilat pika të palëvizshme do të bien në një segment të caktuar. Për ta bërë këtë, është e nevojshme për të llogaritur derivativin e funksionit, pastaj e barazoni atë me 0 dhe zgjidhjen e ekuacionit që rezulton në fund, pas së cilës është e mundur të zgjidhni rrënjët e duhura. Nëse nuk kemi sukses në një pikë të vetme stacionare ose ata nuk do të bien në një segment të caktuar, atëherë shkojmë në hapin tjetër.
4. Ne përcaktojmë se cilat vlera do të marrin funksionin në pikat e përcaktuara stacionare (nëse ka), ose në ato pika në të cilat nuk ka derivat të parë (nëse ka), ose llogarit vlerat për x \u003d a dhe x \u003d b .
5. 5. Ne doli një numër të funksioneve të funksionit, nga të cilat tani duhet të zgjidhni më së shumti dhe më të voglin. Kjo do të jetë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve që na duhet të gjejmë.

Le të shohim se si ta zbatojmë siç duhet këtë algoritëm gjatë zgjidhjes së detyrave.

Shembulli 1.

Kushti: Është specifikuar funksioni y \u003d x 3 + 4 x 2. Përcaktojnë vlerën më të madhe dhe më të vogël në segmentet [1; 4] dhe [- 4; - një].

Vendimi:

Le të fillojmë me vendndodhjen e përcaktimit të fushës së këtij funksioni. Në këtë rast, do të ketë shumë numra të vlefshëm, përveç 0. Me fjalë të tjera, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Të dy segmentet e specifikuara në gjendje do të jenë brenda zonës së definicionit.

Tani llogarisni funksionin derivativ sipas grindjeve të diferencimit:

y "\u003d x 3 + 4 x 2" \u003d x 3 + 4 "· x 2 - x 3 + 4 · x 2" x 4 \u003d 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 xx 4 \u003d x 3 - 8 x 3

Mësuam se funksioni i nxjerrë do të ekzistonte në të gjitha pikat e segmenteve [1; 4] dhe [- 4; - një].

Tani ne duhet të definojmë pikat e palëvizshme të funksionit. Ne do ta bëjmë atë me ekuacionin x 3 - 8 x 3 \u003d 0. Ai ka vetëm një rrënjë të vlefshme të barabartë me 2. Do të jetë një pikë e palëvizshme dhe do të bjerë në segmentin e parë [1; katër].

Llogaritni vlerat e funksionit në skajet e segmentit të parë dhe në këtë pikë, unë. Për x \u003d 1, x \u003d 2 dhe x \u003d 4:

y (1) \u003d 1 3 + 4 1 2 \u003d 5 y (2) \u003d 2 3 + 4 2 2 \u003d 3 y (4) \u003d 4 3 + 4 4 2 \u003d 4 1 4

Ne morëm vlerën më të madhe të funksionit m një x x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3 do të arrihet në x \u003d 1, dhe m i n y x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3 - në x \u003d 2.

Segmenti i dytë nuk përfshin një pikë të vetme stacionare, kështu që ne duhet të llogarisim vlerat e funksionit vetëm në skajet e segmentit të specifikuar:

y (- 1) \u003d (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 \u003d 3

Kjo do të thotë m një x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 1) \u003d 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Përgjigje:Për një segment [1; 4] - m një x y x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, m i n y x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, për segmentin [- 4; - 1] - m një x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 1) \u003d 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Shih figurën:

Para se të studioni këtë metodë, ne ju këshillojmë të përsërisni se si të llogarisim limitin e njëanshëm dhe kufirin në pafundësi, si dhe të mësoni metodat kryesore të qëndrimit të tyre. Për të gjetur vlerën më të madhe dhe / ose më të vogël të funksionit në një interval në natyrë ose të pafund, kryejnë hapat e mëposhtëm.

1. Së pari ju duhet të kontrolloni nëse një interval i caktuar do të jetë një nëngrup i fushës së përkufizimit të këtij funksioni.
2. Ne përcaktojmë të gjitha pikat që janë të përfshira në intervalin e dëshiruar dhe në të cilin nuk ka derivat të parë. Zakonisht ata kanë funksione ku argumenti është përfunduar në shenjën e modulit, dhe në funksionet e fuqisë me një tregues racional të pjesshëm. Nëse këto pika mungojnë, atëherë ju mund të lëvizni në hapin tjetër.
3. Tani ne përcaktojmë se çfarë pikë stacionare do të bien në një hendek të caktuar. Së pari, barazoni derivativin në 0, zgjidhni ekuacionin dhe zgjidhni rrënjët e duhura. Nëse nuk kemi një pikë të vetme stacionare ose nuk bien në një interval të caktuar, atëherë menjëherë të shkojnë në veprime të mëtejshme. Ato përcaktohen nga pikëpamja e intervalit.

• Nëse intervali ka një formë [a; b), atëherë ne kemi nevojë për të llogaritur vlerën e funksionit në pikën X \u003d A dhe kufiri i njëanshëm i Lim X → B - 0 f (x).
• Nëse intervali ka një formë (a, b], atëherë ne duhet të llogarisim vlerën e funksionit në pikën X \u003d B dhe kufirin e njëanshëm të Lim X → A + 0 f (x).
• Nëse intervali ka një formë (a, b), atëherë ne kemi nevojë për të llogaritur kufijtë e njëanshëm të lim x → b - 0 f (x), lim x → A + 0 f (x).
• Nëse intervali ka formën [a; + ∞), atëherë është e nevojshme për të llogaritur vlerën në pikën X \u003d A dhe kufirin në plus të Infinity Lim X → + ∞ f (x).
• Nëse intervali duket si (- ∞; b], ne llogarisim vlerën në pikën x \u003d b dhe kufirin për minus pafundësinë e limacionit x → - ∞ f (x).
• Nëse - ∞; b, atëherë ne e konsiderojmë limitin e njëanshëm lim x → b - 0 f (x) dhe kufirin për minus pafundësi lim x → - ∞ f (x)
• Nëse - ∞; + ∞, ne i konsiderojmë kufijtë për minus dhe plus pafundësi lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

1. Në fund, është e nevojshme të përfundohet në bazë të funksioneve të fituara dhe kufijve. Ka shumë opsione këtu. Pra, nëse kufiri i njëanshëm është minus pafundësi ose plus pafundësi, është menjëherë e qartë se asgjë nuk mund të thuhet për vlerën më të vogël dhe më të madhe të funksionit. Më poshtë do të analizojmë një shembull tipik. Përshkrimet e hollësishme do t'ju ndihmojnë të kuptoni se çfarë. Nëse është e nevojshme, ju mund të ktheheni në figurat 4 - 8 në pjesën e parë të materialit.

Kushti: Funksioni y \u003d 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 është dhënë. Llogarit vlerën më të madhe dhe më të vogël në intervalet - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Vendim

Para së gjithash, ne gjejmë zonën e definicionit në terren. Në denotër, Fraci është një shesh tre-melan, i cili nuk duhet të kontaktojë 0:

x 2 + x - 6 \u003d 0 d \u003d 1 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 25 x 1 \u003d - 1 - 5 2 \u003d - 3 x 2 \u003d - 1 + 5 2 \u003d 2 ⇒ d (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Ne morëm fushën e përcaktimit të funksionit në të cilin i përkasin të gjitha intervalet e specifikuara në gjendje.

Tani plotësoni diferencimin e funksionit dhe merrni:

y "\u003d 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" \u003d 3 · e 1 x 2 + x - 6 "\u003d 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6" \u003d \u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 \u003d - 3 · (2 \u200b\u200bx + 1) · E 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Rrjedhimisht, derivativët ekzistojnë gjatë gjithë përkufizimit të tij.

Le të kthehemi në gjetjen e pikave të palëvizshme. Derivativi i referohet 0 në x \u003d - 1 2. Kjo është një pikë e palëvizshme që është në intervale (- 3; 1] dhe (- 3; 2).

Llogaritni vlerën e funksionit në x \u003d - 4 për hendekun (- ∞; - 4], si dhe kufiri për minus pafundësi:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

Që nga 3 E 1 6 - 4\u003e - 1, prandaj, maxyx ∈ (- ∞; - 4] \u003d y (- 4) \u003d 3 e 1 6 - 4. Nuk na jep mundësinë për të përcaktuar në mënyrë unike vlerën më të vogël të Funksioni. Ne mund të jetë vetëm një konkluzion se më poshtë është një kufi - 1, meqë është pikërisht në këtë vlerë që funksioni po i afrohet asimptotikisht për minus pafundësi.

Një tipar i intervalit të dytë është se nuk ka një pikë të vetme stacionare dhe një kufi të vetëm të rreptë. Rrjedhimisht, ne nuk do të jemi në gjendje të llogarisim vlerën më të madhe dhe as më të vogël të funksionit. Duke përcaktuar limitin për minus pafundësinë dhe kur argumenti është projektuar për të - 3 në anën e majtë, ne vetëm marrim intervalin e vlerave:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 \u003d 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 e 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 e + ∞ - 4 \u003d + ∞ lim x → - ∞ 3 E 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

Kjo do të thotë që vlerat e funksionit do të vendosen në intervalin - 1; + ∞.

Për të gjetur funksionin më të madh në hendekun e tretë, ne përcaktojmë vlerën e saj në pikën stacionare x \u003d - 1 2, nëse x \u003d 1. Ne gjithashtu do të duhet të dimë kufirin e njëanshëm për rastin kur argumenton për - 3 në anën e djathtë:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) \u003d 3 E 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 e 1 (- 0) - 4 \u003d 3 e - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Ne kemi doli se vlera më e madhe do të miratojë në pikën e palëvizshme Maxyx ∈ (3; 1] \u003d y - 1 2 \u003d 3 e - 4 25 - 4. Sa për vlerën më të vogël, nuk mund të përcaktohet. Të gjithë ne e dimë - Kjo është prania e një kufizimi nga poshtë në - 4.

Për intervalin (- 3; 2), ne do të marrim rezultatet e llogaritjes së mëparshme dhe përsëri ne llogarisim atë që është e barabartë me limitin e njëanshëm kur ndjekin 2 në anën e majtë:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 + 0 3 E 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 \u003d 3 e 1 - 0 - 4 \u003d 3 e - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Pra, m një x y x ∈ (- 3; 2) \u003d y - 1 2 \u003d 3 e - 4 25 - 4, dhe vlera më e vogël nuk është e mundur, dhe vlerat e funksionit janë të kufizuara në fund - 4.

Bazuar në atë që kemi bërë në dy llogaritje të mëparshme, ne mund të argumentojmë se në intervalin [1; 2) Funksioni do të marrë vlerën më të madhe në x \u003d 1, dhe është e pamundur të gjesh më të voglin.

Në intervalin (2; + ∞) funksioni nuk do të arrijë vlerën më të madhe dhe as më të vogël, dmth. Do të marrë vlera nga GAP - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 \u003d 3 e 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 e + ∞ - 4 \u003d + ∞ lim x → ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

Llogaritja e asaj që do të jetë vlera e funksionit në x \u003d 4, ne gjejmë se m një x y x ∈ [4; + ∞) \u003d y (4) \u003d 3 E 1 14 - 4, dhe funksioni i specifikuar në plus të pafundësisë do të jetë asimptotikisht që afrohet për të drejtuar y \u003d - 1.

Është e krahasueshme me atë që kemi dalë në çdo llogaritje, me një grafik të një funksioni të caktuar. Në figurën asimptotet janë treguar nga vijës me pika.

Kjo është e gjitha që donim të tregonim për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit. Sekuencat e veprimeve që kemi udhëhequr do të ndihmojnë në marrjen e llogaritjeve të nevojshme sa më shpejt dhe thjesht. Por mbani mend se shpesh është e dobishme që së pari të zbuloni se në cilat periudha do të ulet funksioni, dhe në çfarë rritjeje, pas së cilës mund të bëni përfundime të mëtejshme. Kështu që ju mund të përcaktoni më saktë vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit dhe justifikoni rezultatet e marra.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi zgjidhni atë dhe shtypni Ctrl + Enter

Në këtë artikull unë do të them algoritmi për gjetjen e vlerës më të madhe dhe më të vogël Funksionet, pikat minimale dhe maksimale.

Nga teoria, ne jemi me saktësi të dobishme. derivatet e tavolinës dhe rregullat e Diferencimit. E gjithë kjo është në këtë tabletë:

Algoritëm për gjetjen e vlerës më të madhe dhe më të vogël.

Është më i përshtatshëm për mua të shpjegoj në një shembull të veçantë. Konsideroni:

Shembull: Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3-65x në segmentin [-4; 0].

Hapi 1. Merrni një derivativ.

Y "\u003d (x ^ 5 + 20x ^ 3-65x)" \u003d 5x ^ 4 + 20 * 3x ^ 2 + 65 \u003d 5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65

Hapi 2. Ne gjejmë pikën e ekstremit.

Pikë ekstreme Ne i quajmë pikat e tilla në të cilat funksioni arrin vlerën më të madhe ose më të vogël.

Për të gjetur pikat ekstrem, është e nevojshme të barazohet funksioni derivativ në zero (y "\u003d 0)

5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65 \u003d 0

Tani ne zgjidhim këtë ekuacion bik detar dhe rrënjët e gjetura janë pikat tona ekstrem.

Unë zgjidh ekuacione të tilla me një zëvendësim T \u003d x ^ 2, pastaj 5t ^ 2 + 60t - 65 \u003d 0.

Sperate ekuacion për 5, ne marrim: t ^ 2 + 12t - 13 \u003d 0

D \u003d 12 ^ 2 - 4 * 1 * (- 13) \u003d 196

T_ (1) \u003d (-12 + sqrt (196)) / 2 \u003d (-12 + 14) / 2 \u003d 1

T_ (2) \u003d (-12 - sqrt (196)) / 2 \u003d (-12 - 14) / 2 \u003d -13

Ne bëjmë zëvendësimin e kundërt x ^ 2 \u003d t:

X_ (1 dhe 2) \u003d ± sqrt (1) \u003d ± 1
X_ (3 dhe 4) \u003d ± sqrt (-13) (me përjashtim të rrënjës nuk mund të ketë numra negativë, përveç nëse sigurisht po flasim për numrat komplekse)

Gjithsej: x_ (1) \u003d 1 dhe x_ (2) \u003d -1 - Kjo është pikat tona ekstrem.

Hapi 3. Ne përcaktojmë vlerën më të madhe dhe më të vogël.

Metoda e zëvendësimit.

Në gjendje, na është dhënë një segment [b] [- 4; 0]. Pika X \u003d 1 në këtë segment nuk është e përfshirë. Pra, ne nuk e konsiderojmë atë. Por përveç pikës X \u003d -1, ne gjithashtu duhet të marrim parasysh kufirin e majtë dhe të djathtë të segmentit tonë, domethënë pikat -4 dhe 0. Për këtë, i zëvendësojmë të gjitha këto tre pika në funksionin origjinal. Vini re burimin - ky është ai që është dhënë në gjendje (y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3-65x), disa fillojnë të zëvendësojnë në derivativ ...

Y (-1) \u003d (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 355 * (- 1) \u003d -1 - 20 + 65 \u003d [b] 44
y (0) \u003d (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3 - 65 * (0) \u003d 0
y (-4) \u003d (-4) ^ 5 + 20 * (- 4) ^ 355 * (- 4) \u003d -1024 - 1280 + 260 \u003d -2044

Kjo do të thotë se vlera më e madhe e funksionit është 44 dhe arrihet në pikën [b] -1, e cila quhet pika e funksionit maksimal në segmentin [-4; 0].

Ne vendosëm dhe morëm një përgjigje, ne jemi të mirë, ju mund të relaksoheni. Por ndalet! Ju nuk duket se e konsideroni y (-4) disi shumë të vështirë? Në kushtet e kohës së kufizuar është më mirë të përdorësh një mënyrë tjetër, e quaj atë si kjo:

Përmes intervaleve të shenjës.

Këto intervale janë të vendosura për një funksion derivativ, domethënë për ekuacionin tonë të biçit.

Unë e bëj atë si më poshtë. Segmenti i drejtimit të orizit. Ne vendosim pikat: -4, -1, 0, 1. Përkundër faktit se 1 nuk është përfshirë në segmentin e specifikuar, duhet ende të theksohet në mënyrë që të përcaktohet në mënyrë korrekte boshllëqet e alternimit. Merrni një numër të shumë herë më shumë se 1, le të themi 100, e zëvendësojnë mentalisht në ekuacionin tonë të biçikletave 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. Edhe asgjë nuk bëhet e qartë se në pikën 100 ka një funksioni plus një shenjë . Pra, në intervale nga 1 në 100, ajo ka një shenjë plus. Kur lëvizin pas 1 (ne shkojmë në të djathtë të majtë) funksioni do të ndryshojë shenjën në minus. Kur kaloni nëpër pikën 0, funksioni do të shpëtojë shenjën e saj, pasi ajo është vetëm një kufi i segmentit, dhe jo rrënja e ekuacionit. Kur kaloni nëpër -1, funksioni përsëri do të ndryshojë shenjën në plus.

Të teorisë, ne e dimë se atje, ku funksioni derivativ (dhe ne jemi për të është tërhequr edhe) ndryshon shenjën nga plus në minus (pika -1 në rastin tonë) Funksioni arrin maksimumi i tij lokal (y (-1) \u003d 44, siç është numëruar më herët) Në këtë segment (kjo është logjike shumë e qartë, funksioni ka pushuar të rritet, pasi ajo arriti maksimumin e saj dhe të fillojë dekretin).

Prandaj, ku ka një funksion derivativ ndryshon një shenjë me një minus plusi arritur funksioni minimal lokal. Po, po, ne gjithashtu gjetëm një pikë minimale lokale. Kjo është 1, dhe y (1) është vlera minimale e funksionit në segment, le të themi nga -1 to + ∞. Paguani vëmendje të madhe se kjo është vetëm një minimum lokal, domethënë të paktën në një segment të caktuar. Që nga funksioni minimal i vërtetë (global) do të arrijë diku në-∞.

Sipas mendimit tim, mënyra e parë është më e lehtë teorikisht, dhe e dyta është më e lehtë nga pikëpamja e veprimeve aritmetike, por shumë më e vështirë në aspektin e teorisë. Në fund të fundit, nganjëherë ka raste kur funksioni nuk ndryshon shenjën kur lëvizni nëpër rrënjën e ekuacionit, dhe në përgjithësi mund të merrni hutuar me këto lokale, maxima globale dhe minima, edhe pse ju duhet ta zotëroni mirë nëse Ju planifikoni të hyni në Universitetin Teknik (dhe për atë që ndryshe merrni një provim të profilit dhe vendosni këtë detyrë). Por praktikoni dhe praktikoni vetëm një herë dhe do t'ju mësojë përgjithmonë për të zgjidhur detyrat e tilla. Dhe ju mund të stërviteni në faqen tonë të internetit. Këtu.

Nëse shfaqen disa pyetje, ose diçka është e pakuptueshme - sigurohuni që të kërkoni. Unë me kënaqësi do t'ju përgjigjem, dhe do të bëj ndryshime, shtesat në artikull. Mos harroni që e bëjmë këtë faqe së bashku!

Lëreni funksionin $ Z \u003d F (x, y) $ janë të përcaktuara dhe të vazhdueshme në disa zona të kufizuara të mbyllura $ d $. Supozoni në këtë fushë, funksioni i përcaktuar ka derivatet e fundme private të rendit të parë (përveç, ndoshta numri përfundimtar i pikave). Për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit të dy variablave në këtë zonë të mbyllur, janë të nevojshme tre hapa të një algoritmi të thjeshtë.

Algoritmi për kërkimin e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit $ Z \u003d f (x, y) $ në zonën e mbyllur prej $ d $.

1. Gjeni pikat kritike të funksionit $ Z \u003d f (x, y) në pronësi të rajonit $ d $. Llogaritni vlerat e funksionit në pikat kritike.
2. Eksploroni sjelljen e funksionit $ Z \u003d f (x, y) $ në kufirin e zonës $ d, duke gjetur pikat e vlerave më të rëndësishme dhe më të vogla. Llogaritni vlerat e funksionit në pikat e fituara.
3. Nga vlerat e funksionit të marrë në dy artikujt e mëparshëm, zgjidhni më të mëdhenjtë dhe më të vegjël.

Çfarë është pikat kritike? Shfaq Fshih

Nën pikat kritike Do të thotë pikat e tilla në të cilat të dy derivatet e pjesshme të rendit të parë janë zero (i.e. $ \\ frac (\\ pjesshëm x) \u003d 0 $ dhe $ \\ frac (\\ pjesshëm z) (\\ pjesshëm y) \u003d 0 $) ose të paktën një derivativ privat nuk ekziston.

Shpesh pikat në të cilat derivatet private të rendit të parë janë zero, referojuni pikat e palëvizshme. Kështu, pikat e palëvizshme janë një nëngrup i pikave kritike.

Shembull №1

Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit $ Z \u003d x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $ në një zonë të mbyllur, linjat e kufizuara $ x \u003d $ 3, $ y \u003d 0 $ dhe $ y \u003d x + $ 1.

Ne do të ndjekim më lart, por së pari do të kuptojmë vizatimin e zonës së specifikuar, të cilën ne tregojmë letrën $ d $. Ne jemi dhënë ekuacionet e trefishuara, të cilat janë të kufizuara në këtë fushë. Direct $ x \u003d $ 3 kalon nëpër pikën $ (3; 0) $ paralel me aksin e ordinate (aks oy). Direct $ y \u003d 0 $ është ekuacioni i boshtit abscissa (aksi i kaut). Epo, dhe për të ndërtuar një direct $ y \u003d x + 1 $ ne do të gjeni dy pikë përmes të cilave dhe e bëjnë këtë të drejtë. Natyrisht, ju mund të zëvendësoni në vend të $ x $ disa vlera arbitrare. Për shembull, duke zëvendësuar $ x \u003d $ 10, ne marrim: $ y \u003d x + 1 \u003d 10 + 1 \u003d 11 $. Ne gjetëm një pikë $ (10; 11) $ të shtrirë në një direct $ y \u003d x + $ 1. Megjithatë, është më mirë të gjesh ato pika në të cilat $ y \u003d x + 1 $ kryqëzon me linjat $ x \u003d $ 3 dhe $ y \u003d 0 $. Pse është më mirë? Sepse ne do të nisëm një çift të hares: marrim dy pikë për të ndërtuar një direct $ y \u003d x + 1 $ dhe në të njëjtën kohë të zbulojnë se cilat pika ky direkt kalon linjat e tjera që kufizojnë zonën e specifikuar. Direct $ Y \u003d X + 1 $ Crosses Direct $ x \u003d 3 $ në pikën $ (3; 4) $, dhe Direct $ Y \u003d 0 $ është në pikën $ (- 1; 0) $. Në mënyrë që të mos rrëmbejë rrjedhën e zgjidhjes me shpjegim ndihmës, çështja e marrjes së këtyre dy pikave do të kryhet në një shënim.

Si janë marrë pikat $ (3; 4) $ dhe $ (- 1; 0) $? Shfaq Fshih

Le të fillojmë me pikën e kryqëzimit të drejtpërdrejtë $ y \u003d x + 1 $ dhe $ x \u003d $ 3. Koordinatat e pikës së dëshiruar i përkasin të parit, dhe të dytë të drejtpërdrejtë, kështu që të gjejnë koordinata të panjohura është e nevojshme për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

$$ \\ majtas \\ (\\ fillojnë (të përafruar) dhe y \u003d x + 1; \\\\ & x \u003d 3. \\ fund (në linjë) \\ drejtë. $$

Zgjidhja e një sistemi të tillë është i parëndësishëm: zëvendësimi i $ x \u003d 3 $ në ekuacionin e parë, ne do të kemi: $ y \u003d 3 + 1 \u003d $ 4. Pikë $ (3; 4) $ është pika e dëshiruar e kryqëzimit të drejtpërdrejtë $ y \u003d x + 1 $ dhe $ x \u003d $ 3.

Tani shtrydhni pikën e kryqëzimit të drejtpërdrejtë $ y \u003d x + 1 $ dhe $ y \u003d 0 $. Përsëri, dhe zgjidh sistemin e ekuacioneve:

$$ \\ majtas \\ (\\ fillojnë (të përafruar) & y \u003d x + 1; \\\\ & y \u003d 0. \\ fund (në linjë) \\ drejtë. $$

Zëvendësimi $ y \u003d 0 $ në ekuacionin e parë, ne marrim: $ 0 \u003d x + 1 $, $ x \u003d -1 $. Pikë $ (- 1; 0) $ dhe ka një pikë kryqëzimi të dëshiruar të Direct $ Y \u003d X + 1 $ dhe $ y \u003d 0 $ (Abscissa Axis).

Çdo gjë është e gatshme për ndërtimin e një vizatimi, i cili do të ketë këtë lloj:

Çështja e shënimeve duket e qartë, sepse gjithçka është e dukshme në vizatim. Megjithatë, është e nevojshme të mbani mend se vizatimi nuk mund të shërbejë si dëshmi. Figura është vetëm një ilustrim për qartësi.

Rajoni ynë ishte vendosur duke përdorur ekuacionet e drejtpërdrejtë, që e kufizojnë atë. Natyrisht, këto definojnë drejtpërdrejt një trekëndësh, apo jo? Apo nuk është krejtësisht e dukshme? Ose ndoshta ne jemi të kërkuar një zonë tjetër të kufizuar nga e njëjta direct:

Natyrisht, gjendja thotë se zona është e mbyllur, kështu që fotografia e treguar është e pasaktë. Por për të shmangur paqartësi të tilla, zona është më e mirë për të vendosur pabarazitë. A jemi të interesuar për një pjesë të avionit, të vendosura nën $ y \u003d x + 1 $? OK, do të thotë $ y ≤ x + 1 $. Zona jonë duhet të jetë e vendosur mbi Direct $ y \u003d 0 $? Excellent, kjo do të thotë $ y ≥ 0 $. Nga rruga, dy pabarazitë e fundit kombinohen lehtësisht në një: $ 0 ≤ y ≤ x + $ 1.

$$ \\ majtas \\ (\\ fillojnë (të përafruar) dhe 0 ≤ y ≤ x + 1; \\\\ & x ≤ 3. \\ fund (në linjë) \\ drejtë. $$

Këto pabarazi dhe vendosin rajonin $ d $ d $, dhe ata e definojnë atë në mënyrë të qartë, duke mos lejuar ndonjë paqartësi. Por si mund të na ndihmojë kjo në pyetjen, atë që është specifikuar në fillim të shënimit? Siç do të ndihmojë :) Ne duhet të kontrollojmë nëse është në pronësi $ d $ d $. Ne zëvendësojmë $ x \u003d 1 $ dhe $ y \u003d 1 $ në sistemin e pabarazisë që kjo zonë është përcaktuar. Nëse të dy pabarazitë plotësohen, pika qëndron brenda rajonit. Nëse të paktën një nga pabarazitë nuk ekzekutohet, zona e rajonit nuk i përket. Kështu që:

$$ \\ majtas \\ (\\ fillojnë (të përafruar) dhe 0 ≤ 1 ≤ 1 + 1; \\\\ & 1 ≤ 3. \\ end (radhitur) \\ krahinë. \\; \\; \\ majtas \\ (\\ fillojnë (të përafruar) dhe 0 ≤ 1 ≤ 2; \\\\ & 1 ≤ 3. \\ fund (në linjë) \\ drejtë. $$

Të dy pabarazitë janë të drejta. Pika $ m_1 (1; 1) $ do të hyjë në rajonin $ d $.

Tani ka ardhur një bërthamë për të eksploruar sjelljen e funksionit në kufirin e rajonit, i.e. Shkoni në. Le të fillojmë me $ y \u003d 0 $.

Direct $ y \u003d 0 $ (Abscissa Axis) kufizon rajonin $ d $ nën kushtin $ -1 ≤ x ≤ $ 3. Ne zëvendësojmë $ y \u003d 0 $ në funksionin e specifikuar $ Z (x, y) \u003d x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. Funksioni i zëvendësimit rezultues i një ndryshore $ x $ do të caktojë si $ f_1 (x) $:

$$ f_1 (x) \u003d z (x, 0) \u003d x ^ 2 + 2x \\ cdot 0-0 ^ 2-4x \u003d x ^ 2-4x. $$.

Tani për funksionin $ f_1 (x) $ ju duhet të gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla në segmentin $ -1 ≤ x ≤ $ 3. Vendosja e derivatit të këtij funksioni dhe e barazoni atë në zero:

$$ f_ (1) ^ (") (x) \u003d 2x-4; \\\\ 2x-4 \u003d 0; \\; x \u003d 2. $$

Vlera e $ x \u003d 2 $ i takon segmentit të $ -1 ≤ x ≤ $ 3, prandaj shton pikë në listë dhe $ m_2 (2; 0) $. Përveç kësaj, ne llogarisim vlerën e funksionit $ Z $ në skajet e segmentit të $ -1 ≤ x ≤ $ 3, I.E. Në pikat $ m_3 (-1; 0) $ dhe $ m_4 (3; 0) $. Nga rruga, nëse pika $ m_2 nuk i përkiste segmentit në shqyrtim, atëherë, natyrisht, vlera e funksionit $ Z $ në të nuk do të kishte nevojë të llogaritet.

Pra, unë llogaris vlerat e funksionit $ Z $ në pikat $ m_2 $, $ m_3 $, $ m_4 $. Natyrisht, ju mund të zëvendësoni koordinatat e këtyre pikave në shprehjen fillestare $ Z \u003d x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. Për shembull, për $ m_2 pikë $ ne do të marrim:

$$ z_2 \u003d z (m_2) \u003d 2 ^ 2 + 2 \\ cdot 2 \\ cdot 0-0 ^ 2-4 \\ cdot 2 \u003d -4. $$

Megjithatë, llogaritjet mund të jenë të lehta për t'u thjeshtuar. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të mbani mend se në segmentin $ m_3m_4 ne kemi $ z (x, y) \u003d f_1 (x) $. Sëmurë në detaje:

\\ fillojnë (të përafruar) & z_2 \u003d z (m_2) \u003d z (2) \u003d 2 ^ 2-4 \\ cdot 2 \u003d -4; \\\\ & z_3 \u003d Z (m_3) \u003d z (- 1.0) \u003d F_1 (-1) \u003d (- 1) ^ 2-4 \\ cdot (-1) \u003d 5; \\\\ & z_4 \u003d z (m_4) \u003d z (3.0) \u003d f_1 (3) \u003d 3 ^ 2-4 \\ CDOT 3 \u003d -3. \\ Fund (në linjë)

Natyrisht, zakonisht nuk ka nevojë për të dhëna të tilla të detajuara, dhe të gjitha llogaritjet në të ardhmen do të shkruajnë më të shkurtër:

$$ z_2 \u003d f_1 (2) \u003d 2 ^ 2-4 \\ cdot 2 \u003d -4; \\; z_3 \u003d f_1 (-1) \u003d (- 1) ^ 2-4 \\ cdot (-1) \u003d 5; \\; z_4 \u003d f_1 (3) \u003d 3 ^ 2-4 \\ cdot 3 \u003d -3. $$

Tani ne kthehemi në një $ X \u003d $ 3. Ky direkt kufizon rajonin $ d $ nën kusht $ 0 ≤ y ≤ $ 4. Ne zëvendësojmë $ x \u003d $ 3 në një funksion të caktuar $ Z $. Si rezultat i një zëvendësimi të tillë, ne marrim funksionin $ f_2 (y) $:

$$ f_2 (y) \u003d z (3, y) \u003d 3 ^ 2 + 2 \\ cdot 3 \\ cdot y-y ^ 2-4 \\ cdot 3 \u003d -y ^ 2 + 6y-3. $$.

Për funksionin $ f_2 (y) $ ju duhet të gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla në segmentin e $ 0 ≤ ≤ ≤ $ 4. Vendosja e derivatit të këtij funksioni dhe e barazoni atë në zero:

$$ f_ (2) ^ (") (y) \u003d - 2y + 6; \\\\ -2Y + 6 \u003d 0; \\; y \u003d 3. $$

Vlera e $ y \u003d $ 3 i takon një segmenti prej $ 0 ≤ y ≤ $ 4, kështu që është shtuar edhe në pikat e gjetura më parë dhe $ m_5 (3; 3) $. Përveç kësaj, është e nevojshme për të llogaritur vlerën e funksionit $ Z $ në pikat në skajet e segmentit prej $ 0 ≤ y ≤ $ 4, dmth.e. Në pikat $ m_4 (3; 0) $ dhe $ m_6 (3; 4) $. Në pikën $ m_4 (3; 0) $ ne kemi llogaritur tashmë vlerën e $ z $. Llogaritni vlerën e funksionit $ Z $ në pikat $ m_5 $ dhe $ m_6 $. Më lejoni t'ju kujtoj se në segmentin $ m_4m_6 ne kemi $ z (x, y) \u003d f_2 (y) $, kështu që:

\\ fillojnë (të përafruar) & z_5 \u003d f_2 (3) \u003d - 3 ^ 2 + 6 \\ cdot 3-3 \u003d 6; & z_6 \u003d f_2 (4) \u003d - 4 ^ 2 + 6 \\ cdot 4-3 \u003d 5. \\ Fund (në linjë)

Dhe së fundi, konsideroni kufirin e fundit të rajonit $ d $, i.e. Direct $ y \u003d x + 1 $. Ky direkt kufizon rajonin $ d $ nën kusht $ -1 ≤ x ≤ $ 3. Zëvendësimi i $ y \u003d x + 1 $ për funksionin $ Z $, ne do të kemi:

$$ f_3 (x) \u003d z (x, x + 1) \u003d x ^ 2 + 2x \\ cdot (x + 1) - (x + 1) ^ 2-4x \u003d 2x ^ 2-4x-1. $$.

Përsëri kemi një funksion të një ndryshore $ x $. Dhe përsëri ju duhet të gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të këtij funksioni në segmentin $ -1 ≤ x ≤ $ 3. Vendosja e derivateve të funksionit $ f_ (3) (x) $ dhe e barazojnë atë me zero:

$$ f_ (3) ^ (") (x) \u003d 4x-4; \\\\ 4x-4 \u003d 0; \\; x \u003d 1. $$

Vlera prej $ x \u003d 1 $ i takon segmentit $ -1 ≤ x ≤ $ 3. Nëse $ x \u003d 1 $, pastaj $ y \u003d x + 1 \u003d $ 2. Ne shtojmë në listën e pikave më shumë dhe $ m_7 (1; 2) $ dhe gjeni se çfarë është e barabartë me vlerën e funksionit $ Z $ në këtë pikë. Pikët në skajet e segmentit $ -1 ≤ x ≤ $ 3, i.E. Pikat $ m_3 (-1; 0) $ dhe $ m_6 (3; 4) $ janë shqyrtuar më herët, vlera e funksionit në to ishte gjetur tashmë.

$$ z_7 \u003d f_3 (1) \u003d 2 \\ cdot 1 ^ 2-4 \\ cdot 1-1 \u003d -3. $$

Hapi i dytë i vendimit është përfunduar. Ne morëm shtatë vlera:

$$ Z_1 \u003d -2; \\; z_2 \u003d -4; \\; z_3 \u003d 5; \\; z_4 \u003d -3; \\; z_5 \u003d 6; \\; z_6 \u003d 5; \\; z_7 \u003d -3. $$

Kthehuni tek. Kur zgjedhni kuptimet më të mëdha dhe më të vogla nga ato numra që janë marrë në paragrafin e tretë, ne do të kemi:

$$ z_ (min) \u003d - 4; \\; z_ (max) \u003d 6. $$

Detyra është zgjidhur, mbetet vetëm për të regjistruar përgjigjen.

Përgjigje: $ z_ (min) \u003d - 4; \\; Z_ (max) \u003d $ 6.

Shembull Numri 2.

Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit $ Z \u003d x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y $ në rajon $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ $ 25.

Së pari, ndërto një vizatim. Ekuacioni $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 25 $ (kjo linjë kufitare e një zone të caktuar) përcakton rrethin me qendrën në fillim të koordinatave (dmth. Në pikën $ (0; 0) $) dhe rreze 5. Pabarazia $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ $ 25 Satisfy gjitha pikat brenda dhe në rrethin e përmendur.

Ne do të veprojmë me të. Ne gjejmë derivatet private dhe gjejmë pika kritike.

$$ \\ frac (\\ pjesshëm z) (\\ pjesshëm x) \u003d 2x-12; \\ Frac (\\ pjesshëm z) (\\ pjesshëm y) \u003d 2y + 16. $$.

Pikat në të cilat derivatet private të gjetura nuk ekzistojnë, nr. Kështu, në atë pikë të dy derivatet private janë në të njëjtën kohë zero, i.e. Gjeni pikë të palëvizshme.

$$ \\ majtas \\ (\\ fillojnë (të përafruar) dhe 2x-12 \u003d 0; \\\\ & 2y + 16 \u003d 0. \\ end (i përafruar) \\ krahinë. \\; \\; \\ majtas \\ (\\ filloni (në linjë) dhe x \u003d 6; \\\\ & y \u003d -8. \\ Fund (i përafruar) \\ drejtë. $$

Ne morëm një pikë stacionare $ (6; -8) $. Megjithatë, pika e gjetur nuk i përket rajonit $ d $. Është e lehtë të tregohet, pa përdorur edhe ndihmën e vizatimit. Ne kontrollojmë nëse pabarazia është $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ $ 25, e cila përcakton zonën tonë $ d $. Nëse $ x \u003d $ 6, $ y \u003d -8 $, pastaj $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 36 + 64 \u003d 100 $, i.e. Pabarazia e $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $ nuk është plotësuar. Përfundim: Pika $ (6; -8) $ nuk i përket rajonit $ d $.

Pra, brenda zonës prej $ d $ nuk ka pika kritike. Shkoni, ko. Ne duhet të shqyrtojmë sjelljen e funksionit në kufirin e zonës së specifikuar, dmth. Në rrethin $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 25 $. Ju mund, natyrisht, të shprehni $ y $ një $ x $, dhe pastaj zëvendësoni shprehjen e marrë në funksionin tonë $ Z $. Nga ekuacioni i rrethit, ne marrim: $ y \u003d \\ sqrt (25-x ^ 2) $ ose $ y \u003d - \\ sqrt (25-x ^ 2) $. Duke zëvendësuar, për shembull, $ y \u003d \\ sqrt (25-x ^ 2) $ në një funksion të caktuar, ne do të kemi:

$$ z \u003d x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y \u003d x ^ 2 + 25-x ^ 2-12x + 16 ^ sqrt (25-x ^ 2) \u003d 25-12x + 16 \\ sqrt (25-x ^ 2); \\; \\; \\; -5≤ x ≤ 5. $$

Një zgjidhje e mëtejshme do të jetë plotësisht identike me studimin e sjelljes së funksionit në kufirin e rajonit në Shembullin e mëparshëm nr. 1. Megjithatë, më duket më e arsyeshme në këtë situatë për të aplikuar metodën e Lagranzhit. Ne vetëm do të jemi të interesuar në pjesën e parë të kësaj metode. Pas aplikimit të pjesës së parë të metodës së Lagranzhit, ne marrim një pikë në të cilën ne hetojmë funksionin $ Z $ për vlerat minimale dhe maksimale.

Ne përpilojmë funksionin e Lagranzhit:

$$ f \u003d z (x, y) + \\ lambda \\ cdot (x ^ 2 + y ^ 2-25) \u003d x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y + \\ lambda \\ cdot (x ^ 2 + y ^ 2 -25). $$.

Ne gjejmë derivatet private të funksioneve të Lagranzhit dhe të bëjmë një sistem korrespondues të ekuacioneve:

$$ f_ (x) ^ (") \u003d 2x-12 + 2 \\ lambda x; \\; \\; f_ (y) ^ (") \u003d 2y + 16 + 2 \\ lambda y. \\\\\\ majtas majtas (Aligned) & 2x-12 + 2 \\ lambda x \u003d 0; \\\\ & 2y + 16 + 2 \\ lambda y \u003d 0; \\\\ & x ^ 2 + y ^ 2-25 \u003d 0. \\ fund (në linjë) \\ E drejta. \\; \\; \\ Majtas \\ (\\ fillojnë (të përafruar) & x + \\ lambda x \u003d 6; \\\\ & y + \\ lambda y \u003d -8; \\\\ & x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 25. \\ Fund (i përafruar) \\ drejtë. $$

Për të zgjidhur këtë sistem, le të pikojmë menjëherë që $ \\ lambda \\ neq -1 $. Pse $ \\ lambda \\ neq -1 $? Le të përpiqemi të zëvendësojmë $ \\ lambda \u003d -1 $ në ekuacionin e parë:

$ $ x + (- 1) \\ cdot x \u003d 6; \\; x - x \u003d 6; \\; 0 \u003d 6. $$.

Kontradiktat rezultuese $ 0 \u003d $ 6 thotë se vlera e $ \\ lambda \u003d -1 $ është e papranueshme. Përfundim: $ \\ lambda \\ neq -1 $. Express $ x $ dhe $ y $ përmes $ \\ lambda $:

\\ fillojnë (në linjë) & x + \\ lambda x \u003d 6; \\; x (1+ \\ lambda) \u003d 6; \\; X \u003d \\ frac (6) (1+ \\ lambda). \\\\ & Y + \\ lambda y \u003d -8; \\; y (1+ \\ lambda) \u003d - 8; \\; Y \u003d \\ frac (-8) (1+ \\ lambda). \\ Fund (në linjë)

Unë mendoj se bëhet e qartë, pse ne kemi përcaktuar në mënyrë specifike gjendjen $ \\ lambda \\ neq -1 $. Kjo është bërë për të bërë një shprehje $ 1 + \\ lambda $ për pa ndërhyrje. Ata. Për t'u siguruar që emëruesi është $ 1 + \\ lambda \\ neq 0 $.

Ne zëvendësojmë shprehjet e marra për $ x $ dhe $ y $ në ekuacionin e tretë të sistemit, i.e. Në $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d $ 25:

$$ \\ majtas (\\ frac (6) (1+ \\ lambda) \\ drejtë) ^ 2 + \\ majtas (\\ frac (-8) (1+ \\ lambda) \\ drejtë) ^ 2 \u003d 25; \\ \\ frac ( 36) ((1+ \\ lambda) ^ 2) + \\ frac (64) ((1+ \\ lambda) ^ 2) \u003d 25; \\\\ \\ frac (100) ((1+ lambda) ^ 2) \u003d 25 ; \\; (1+ \\ lambda) ^ 2 \u003d 4. $$.

Rrjedh nga barazia e fituar që $ 1 + \\ lambda \u003d 2 $ ose $ 1 + \\ lambda \u003d -2 $. Nga këtu kemi dy vlera të parametrit $ \\ lambda $, domethënë: $ \\ lambda_1 \u003d 1 $, $ \\ lambda_2 \u003d -3 $. Prandaj, ne marrim dy çifte prej $ x $ dhe $ y vlerat $:

\\ fillojnë (të përafruar) & x_1 \u003d \\ frac (6) (1+ \\ lambda_1) \u003d \\ frac (6) (2) \u003d 3; \\; y_1 \u003d \\ frac (-8) (1+ \\ lambda_1) \u003d \\ frac (-8) (2) \u003d - 4. \\\\ & x_2 \u003d \\ frac (6) (1+ \\ lambda_2) \u003d \\ frac (6) (- 2) \u003d - 3; \\; y_2 \u003d \\ frac (-8) (1+ \\ lambda_2) \u003d \\ frac (-8) (- 2) \u003d 4. \\ Fund (në linjë)

Pra, kemi marrë dy pika të ekstremit të kushtëzuar të mundshëm, i.E. $ M_1 (3; -4) $ dhe $ m_2 (-3; 4) $. Gjeni vlerat e funksionit $ Z $ në pikat $ m_1 $ dhe $ m_2 $:

\\ fillojnë (në linjë) & z_1 \u003d z (m_1) \u003d 3 ^ 2 + (- 4) ^ 2-12 \\ cdot 3 + 16 \\ cdot (-4) \u003d - 75; \\\\ & z_2 \u003d z (m_2) \u003d (- 3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \\ cdot (-3) +16 \\ cdot 4 \u003d 125. \\ Fund (në linjë)

Ju duhet të zgjidhni më të madhin dhe më të vegjlit që kemi marrë në hapat e parë dhe të dytë. Por në këtë rast, zgjedhja është e vogël :) Ne kemi:

$$ z_ (min) \u003d - 75; \\; Z_ (max) \u003d 125. $$.

Përgjigje: $ z_ (min) \u003d - 75; \\; Z_ (max) \u003d $ 125.